《函数的基本性质》教案15（人教A版必修1）

1.3.1 单调性与最大（小）值（1）

教学目的：使学生掌握增函数、减函数、单调区间的概念，会根据图象说出函数的单

       　　调区间，并指出在单调区间内函数的增减性。会证明函数的单调性。

教学重点： 根据函数图象说出函数的单调区间，并指出增减性。

教学难点： 函数单调性的证明。

教学过程：

    一、新课引入

　　函数是描述事物运动变化规律的数学模型，观察P32图1.3－1的三个图，说说它

们分别反映了相应函数的哪些变化规律。（注意由左到右看，函数怎样变化？）

    1、增减函数概念的引入

观察函数f（x）＝x，f（x）＝x2的图象

从左至右看函数图象的变化规律是什么？

f（x）＝x的图象是上升的，f（x）＝x2的图象在y轴左侧是下降的，f（x）＝x2的图

象在y轴右侧是上升的，

f（x）＝x在（－∞，＋∞）上，f（x）随着x的增大而增大

　　 f（x）＝x2在（－∞，0］上，f（x）随着x的增大而减小

f（x）＝x2在（0，＋∞）上，f（x）随着x的增大而增大

f（x）＝x2在（0，＋∞）上，当x1＜x2时，有f(x1)＜(x2),这时说函数f（x）＝x2

在区间（0，＋∞）上是增函数。f（x）＝x2在（－∞，0］上，当x1＜x2时，

有f(x1)＞(x2)，f（x）在（－∞，0］上是减函数。

　　2、增函数、减函数的定义

　　一般地，设函数f（x）的定义域为I。

　　如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有

f(x1)＜(x2),那么就说函数f（x）在区间D上是增函数（increasing function）.

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有

f(x1)＞(x2),那么就说函数f（x）在区间D上是减函数（decreasing function）.

　　如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数

或减函数，就说函数函数y＝f（x）在这一

区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间。

　　3、函数的单调区间

　　例1、下图中是定义在区间［－5,5］上的函数y＝f（x），根据图象说出函数的单

调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

试用函数的单调性证明之。

　4、练习：P35，P38　1

5、作业：P45　1、2、3、4

1.3.1 单调性与最大（小）值（2）

教学目的：使学生进一步掌握函数的单调性，理解函数的最大值和最小值的意义，会

       　求函数的最大值和最小值。

教学重点： 求函数的最大值和最小值。

教学难点： 求函数的最大值和最小值。

教学过程：

    观察函数f（x）＝x，f（x）＝x2的图象,

f（x）＝x的图象有最低点吗？f（x）＝x2的图象,

有最低点吗？两个函数的单调区间是什么？

二、新课

f（x）＝x2有最低点，这时x＝0，f（0）＝0，对于任意的x都有f（x）≥f（0）

这个最低点的函数值就是函数的最小值。f（x）＝x无最低点，无最小值。

思考：f（x）＝－x2有最大值还是最小值？

　　一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对任意的x∈I，都有f（x）＜M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M。那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值。

（maximum value）。你会给出最小值的定义吗？（minimum value）

   例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点（大

约在距地面高度25m到30m处）时爆裂。如果在距地面高度18m的地方点火，并且

烟花冲出的速度是14.7m/s。

（1）写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式。

（2O烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？（精确

到1m）

　　分析：根据物理知识，高度的公式为：h＝－gt2＋v0t＋h0（g＝9.8）

抛物线的顶点坐标为（－，）

　　例4、求函数在区间［2,6］上的最大值和最小值。

　　分析：画出它的图象可知，函数在所给的区间上是递减的，因此在两个端点上分

别取得最大值和最小值。解题过程中，可先证明它在给定的区间上是减函数。

　　解：设x1、x2是区间［2,6］上的任意两个数，且x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝＝

则2＜x1＜x2＜6得：，＞0

所以，f(x1)＞f(x2)，因此，函数在区间［2,6］上是减函数。

　　当x＝2时，函数取得最大值为2；

　　当x＝6时，函数取得最小值为0.4。

练习：P38　2、3、4

作业：P45　5、6、7、8

1.3.2 奇偶性

教学目的：使学生掌握奇函数和偶函数的概念和意义，会证明一个函数是奇函数或

       　偶函数。

教学重点：判断一个函数的奇偶性。

教学难点：函数奇偶性的证明。

教学过程：

    一、新课引入

    观察课本P39的图象和函数值的对应表，思考并讨论这两个函数的图象有什么

共同的特征？两个函数的图象都关于y轴对称。

二、新课

　　对于函数f（x）＝x2有：

f（－3）＝9＝f（3），f（－2）＝4＝f（2），f（－1）＝1＝f（1），

　　实际上，对于R上的任意一个x ，都有f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x）

这时我们称函数f（x）＝x2为偶函数。

　　一般地，如果于对函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），

那么函数f（x）就叫做偶函数（evenfunction）。

判断：函数　f（x）＝x2＋1，f（x）＝是不是偶函数？

　　　可先画图观察，再证明之。

   　观察f（x）＝x和f（x）＝的图象，你能发现它们有什么共同的特征吗？

　　这两个函数的图象都是关于原点对称的。

　　对于函数f（x）＝x有：

f（－3）＝－3＝－f（3），f（－2）＝－2＝－f（2），f（－1）＝－1＝－f（1），

实际上，对于R上的任意一个x ，都有f（－x）＝－x＝－f（x），

这时我们称函数f（x）＝x为奇函数。

一般地，如果于对函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），

那么函数f（x）就叫做奇函数（oddfunction）。

思考：P41

　　例5、判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x4；　　　　（2）f（x）＝x5；

（3）f（x）＝x＋　　　　（4）f（x）＝

　　分析：通过本例题的讲解，教会学生如何通过证明来判断一个函数是奇函数还是

偶函数，证明严格按定义来完成，注意格式。

解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为（－∞，＋∞），对于定义域内的任意一个x，有

　　 f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），所以函数f（x）＝x4为偶函数。

　（2）函数f（x）＝x5的定义域为（－∞，＋∞），对于定义域内的任意一个x，有

　　 f（－x）＝（－x）5＝－x5＝－f（x），所以函数f（x）＝x5为奇函数。

　（3）函数的定义域为{x∣x≠0}，对于定义域内的任意一个x，有

f（－x）＝－x＋＝－（x＋）＝－f（x），所以，此函数为奇函数。

　　（4）函数的定义域为{x∣x≠0}，对于定义域内的任意一个x，有

f（－x）＝＝＝f（x），所以，此函数为偶函数。

练习：P42　　作业：P43做一做　　P46　9、10