《函数的基本性质》教案14（人教A版必修1）

1.3.1  单调性与最大（小）值（第一课时）

教学目标：1．使学生理解增函数、减函数的概念；

2．使学生掌握判断某些函数增减性的方法；

3．培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；

4．培养学生数形结合、辩证思维的能力；

5．养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯．

教学重点：函数单调性的概念

教学难点：函数单调性的判断和证明

教学方法：讲授法

教学过程：

（I）复习回顾

1．函数有哪几个要素？

2．函数的定义域怎样确定？怎样表示？

3．函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？

4．区间的表示方法．

前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）．

（II）讲授新课

1．引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1）

问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？

随着x的增加，y值在增加．

问题2：怎样用数学语言表示呢？

设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1)， y2=f(x2)．当x1<x2时，f(x1)< f(x2)．

(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)．

结论：这时，说y1= x2在[0，+∞]上是增函数．（同理分析y轴左侧部分）由此可有：

2．定义：（投影2）

注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；

（2）注意区间上所取两点x1，x2的任意性；

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．

（III）例题分析

例1．如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，及在每一单调区间上，是增函数还是减函数（课本P32例1）．

解：函数的单调区间有，

其中在区间，

上是减函数，在区间上是

增函数．

注意：1 单调区间的书写

      2 各单调区间之间的关系

以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？

问题3：y=f(x)在区间，上是减函数；在区间，上是增函数，那么在两个区间的公共端点处，如：x=-2，x=-1，x=3处是增函数还是减函数？

分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调．因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）．

说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法．严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明．

例2．证明函数在R上是增函数．

证明：设是R上的任意两个实数，且，则

，

所以，在R上是增函数．

分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a．设x1、x2∈给定区间，且x1<x2；

b．计算f(x1)- f(x2)至最简；

c．判断上述差的符号；

d．下结论．

例3．证明函数在上是减函数．

证明：设是上的任意两个实数，且，则

由，得，且

于是

所以，在上是减函数．

利用定义证明函数单调性的步骤：

（1） 取值

（2） 计算、

（3） 对比符号

（4） 结论

（IV）课堂练习   课本P33 “探究题”和P36练习1—3

注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法．

（V）课时小结

本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明．

（VI）课后作业

1、书面作业：课本P43习题1.3A组题1、2、3题．

2、预习作业：

（1）       预习内容：函数的最大值与最小值（P33—P36）；

（2）       预习提纲：

a．函数最大值与最小值的含义是什么？

b．函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系？