高中数学人教版新课标A必修1第三章 函数的应用综合与测试教学设计

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义

讲义八：     函数的的基本性质----单调性和最值(1)       

（一）、基本概念及知识体系：

1、教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

2、教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。

3、教学难点：理解概念。

（二）、教学过程与典例剖析：

●、复习准备：

1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：

①随x的增大，y的值有什么变化？

②能否看出函数的最大、最小值？

③函数图象是否具有某种对称性？

★题3. 画出函数f(x)= x＋2、f(x)= x的图像。（小结描点法的步骤：列表→描点→连线）

二、讲授新课：

1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：

①根据f(x)＝3x＋2、 f(x)＝x  (x>0)的图象进行讨论：

随x的增大，函数值怎样变化？  当x>x时，f(x)与f(x)的大小关系怎样？

②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）

④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→ 区间局部性、取值任意性

⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。

⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？y＝x的单调区间怎样？

③练习（口答）：如图，定义在[-4,4]上的f(x)，根据图像说出单调区间及单调性。

2.教学增函数、减函数的证明：

①出示

★例1：指出函数f(x)＝－3x＋2、g(x)＝的单调区间及单调性，并给出证明。

（由图像指出单调性→示例f(x)＝－3x＋2的证明格式→练习完成。）

②出示例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.

    （学生口答→ 演练证明）

③小结：比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。

  判断单调性的步骤：设x、x∈给定区间，且x<x； →计算f(x)－f(x)至最简→判断差的符号→下结论。

三、巩固练习：

1.求证f(x)＝x＋的(0,1]上是减函数，在[1,+∞)上是增函数。

2.判断f(x)=|x|、y=x的单调性并证明。

3.讨论f(x)=x－2x的单调性。  推广：二次函数的单调性

4.课堂作业：书P43  1、2、3题。

四、本堂课之备选例题和习题：

★例题1、证明函数y=x3-b（b为常数）是R上的增函数。（见教案P40面题1）

★例题2、定义（-1，1）上的函数f(x)是↘，且满足f(1-a)<f(a)，求实数a的取值范围。

 ● 解：0<a<1/2. （见教案P40面题2）

★例题3、求函数y= （当-2≤x≤1时)，求出其最大值和最小值

●解：最大值为，最小值为0。见教案P44面题补充练习题）

●★例题4、已知则不等式≤5的解集是         .x≤3/2

五、备选之练习题：

★题1、已知函数f(x)=  (x∈[2,+∞),证明该函数为↗，并求出其最小值。

解：（见教案P45面题2）；（为）

★题2、已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在[2，3]上的最大值为5和最小值为2，求出a和b 之值。

●解：a=-1,b=3或a=1,b=0见教案P45面题1。

★题3、已知函数f(x)= x2+bx+c,对任意的实数t,都有f(2=t)=f(2-t),试比较f(1)、f(2)、f(4)之大小。

●解：见教材全解P108例题4；注意函数满足f(a+x)=f(b-x)时，其对称轴为x=a+b/2；同时要注意利用对称性，将所比较的数值对应的自娈量转化到同一个单调区间之上，才能利用函数的单调性得出相应结果。

★题4、已知函数f(x)= x2-2(1-a)x+2,在（-∞，4）上是减函数，求出实数a之取值范围。

  解；见教材全解P109例题5；a≤-3;二次函数的问题要特别注意三点：开口方向，对称轴，顶点坐标。

★题4、图中的图象所表示的函数的解析式为（　B　）

Ａ．　　　 

Ｂ　  

Ｃ． 

Ｄ．  

★题6．设函数则关于x的方程

解的个数为 （   C ）A．1 B．2 C．3 D．4

★题7．若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是（ C   ）

A．0     B. –2       C.-              D.-3

●解：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝；若，即a－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）0－x－1若0，即a0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝10恒成立，故a0若0，即－1a0，则应有f（）＝恒成立，故－1a0，综上，有－a故选C

★例题1、设函数f(x)= -ax,其中a≥1,证明：函数f(x)为区间[0,+∞）的↘

●解：注意分子有理化。

★     例题2、定义于R上的函数y=f(x)，有f(0)≠0，，当x>0时f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)·f(b)；（1）、证明：f(0)=1；（2）、对任意的x∈R,恒有f(x)>0；（3）、证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

●解：①、抽象函数的单调性的证明，注意利用f(x2)=f(x2-x1+x1)或令f(x2)=f(x1+t)(其中t>0)去灵活变形。  ②、注意转化为函数的单调性去处理不等式：x∈(0,3)

●今日作业：

【★题1】已知函数：①、y=x2+2x+5;      ②y=-x2-4x+3

(1)、分别写出它们的单调区间；（2）分别求出它们在[0，5）上的值域；

【★题2】设（x+1）的定义域为[-2,3）则(+2）的定义域为___({x|x≤或x>}

【★例题3】、将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时全部卖出，已知这种商品每个涨价1元，其销售个数就减少20个，为了获得最大利润，售价应定为每个多少元。

★【题4】如右图,已知底角45º为的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为,当一条垂直于底边BC(垂足为E)的直线从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线把梯形分成两部分,令BE=x,试写出图中阴影部分的面积y与x的函数关系式.                                                                                         

                                                                               解：