2012-2013高一数学1.2.2-2分段函数教案 新人教A版 必修1

1. 2.2  函数的表示方法

第二课时  分段函数

【教学目标】

1．根据要求求函数的解析式

2．了解分段函数及其简单应用

3．理解分段函数是一个函数，而不是几个函数

【教学重难点】

函数解析式的求法

【教学过程】

1、         分段函数

由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表

引出问题：若设信函的重量（克）应支付的资费为元，能否建立函数的解析式？导出分段函数的概念。

通过分析课本第46页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法

可选例：1、动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动，沿正方形ABCD的运动路程为自变量，写出P点与A点距离与的函数关系式。

2、在矩形ABCD中，AB＝4m，BC＝6m，动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B，设点P从点A处出发经过秒后，所构成的△ABP 面积为m2，求函数的解析式。

3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。

2、典题

例1 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0<x100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像

解：这个函数的定义域集合是，函数的解析式为

这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示.

这一种函数我们把它称为分段函数

变式练习1 作函数y=|x-2|(x＋1)的图像

分析　 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．

解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，

当x＜2时，即x-2＜0时，

.

∴ 

这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出

例2画出函数y=|x|=的图象.

解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.

说明：①再次说明函数图象的多样性；

②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.

③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet）函数D(x)=,我们就作不出它的图象.

变式练习2 作出分段函数的图像

解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：

=  

作出图像如下

变式练习3． 作出函数的函数图像

解：

步骤：（1）作出函数y=2x3的图象

（2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|2x3|的图象

3、小结：本节课学习了分段函数及其简单应用，进一步学习了函数解析式的求法.

课后作业：（略）

【板书设计】

一、  分段函数

二、         典型例题

例1：                           例2：

小结：

【作业布置】完成本节课学案预习下一节。

1.2.2  函数的表示方法

第二课时  分段函数

一 、预习目标

    通过预习理解分段函数并能解决一些简单问题

二、预习内容

在同一直角坐标系中：做出函数的图象和函数的图象。

思考：问题1、所作出R上的图形是否可以作为某个函数的图象？

问题2、是什么样的函数的图象？和以前见到的图像有何异同？

问题3、如何表示这样的函数？

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一  、学习目标

1．根据要求求函数的解析式

2．了解分段函数及其简单应用

3．理解分段函数是一个函数，而不是几个函数

学习重难点:函数解析式的求法

二 、 学习过程

1      、分段函数

由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表

引出问题：若设信函的重量（克）应支付的资费为元，能否建立函数的解析式？导出分段函数的概念。

通过分析课本第46页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法

可选例：1、动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动，沿正方形ABCD的运动路程为自变量，写出P点与A点距离与的函数关系式。

2、在矩形ABCD中，AB＝4m，BC＝6m，动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B，设点P从点A处出发经过秒后，所构成的△ABP 面积为m2，求函数的解析式。

3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。

2、典题

例1 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0<x100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像

变式练习1 作函数y=|x-2|(x＋1)的图像

例2画出函数y=|x|=的图象.

变式练习2 作出分段函数的图像

变式练习3． 作出函数的函数图像

三 、 当堂检测

教材第47页 练习A、B

课后练习与提高

1.定义运算设F(x)＝f(x)g(x),若f(x)＝sinx,g(x)＝cosx,x∈R,则F(x)的值域为(    )

A.［-1,1］      B.       C.     D.

2.已知则的值为(    )

A.-2                B.-1                   C.1                 D.2

3.设函数若f(1)+f(a)＝2,则a的所有可能的值是__________.

4.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t＝0时,点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d＝________,其中t∈［0,60］.

5.对定义域分别是Df、Dg的函数y＝f(x)、y＝g(x),规定:函数h(x)＝

.

(1)若函数,g(x)＝x2,写出函数h(x)的解析式;

(2)求(1)中函数h(x)的值域;

(3)若g(x)＝f(x+α),其中α是常数,且α∈［0,π］,请设计一个定义域为R的函数y＝f(x)及一个α的值,使得h(x)＝cos4x,并予以证明.

解答

1  解析:由已知得

即F(x)＝

F(x)＝sinx,

当,kZ时,F(x)∈［-1,］;

F(x)＝cosx,当,k∈Z时,F(x)∈(-1,),故选C.

答案:C

3  解析:由已知可得,①当a≥0时,有e0+ea-1＝1+ea-1＝2,∴ea-1＝1.∴a-1＝0.∴a＝1.②当-1＜a＜0时,有1+sin(a2π)＝2,∴sin(a2π)＝1.

∴.

又-1＜a＜0,∴0＜a2＜1,

∴当k＝0时,有,∴.

综上可知,a＝1或.

答案:1或

4  解析:由题意,得当时间经过t(s)时,秒针转过的角度的绝对值是弧度,因此当t∈(0,30)时,,由余弦定理,得

,

;当t∈(30,60)时,在△AOB中,,由余弦定理,得,,且当t＝0或30或60时,相应的d(cm)与t(s)间的关系仍满足.

综上所述, ,其中t∈［0,60］.

答案:

5  解:(1)

(2)当x≠1时,,

若x＞1,则h(x)≥4,当x＝2时等号成立;

若x＜1,则h(x)≤0,当x＝0时等号成立.

∴函数h(x)的值域是(-∞,0］∪{1}∪［4,+∞).

(3)解法一:令f(x)＝sin2x+cos2x,,

则＝cos2x-sin2x,

于是h(x)＝f(x)·f(x+α)

＝(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)＝cos4x.

解法二:令,,

则,

于是h(x)＝f(x)·f(x+α)＝()()

＝1-2sin22x＝cos4x.