2020-2021学年3.3 直线的交点坐标与距离公式教案设计

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第三节的第三课时。

“点到直线的距离”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的．此外在研究直线与圆的位置关系、曲线上的点到直线的距离以及解析几何中有关三角形面积的计算等问题时，都要涉及点到直线的距离．所以 “点到直线的距离公式”是平面解析几何的一个重要知识点．由于这一节是直线内容的结尾部分，学生已经具备直线的有关知识（如交点、垂直、三角形等），因此，一方面公式的推导成为可能，另一方面公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题．通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及自主探究和合作学习的能力．

二、学生学习情况分析

本节课学生很容易在以下两个地方产生错误：

1. 点到直线的距离公式的运用中没有把直线化成一般式;

2. 两直线的距离公式的运用中没有统一系数.

三、教学目标

1.让学生理解点到直线距离公式的推导思想，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；

2.通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力;在推导过程中，渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法；

3.通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感．

四、教学重点，难点

重点：点到直线距离公式的推导和应用．

难点：发现点到直线距离公式的推导方法．

五、教学过程

(一)．创设情境 提出问题

问题1: 某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？

经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．

　　这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离．

 (二). 自主探索 推导公式

问题2: 已知点P(x0，y0)，直线：Ax+By+C=0，求点P到直线的距离．怎样求点到直线距离呢？

学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度．

问题3:怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？

提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．

平行于x轴和y轴的特殊情况．学生解决．

 问题4:如何求？

思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公式求得．

评价：此方法思路自然．

问题5:(1)求线段长度可以构造图形吗？　(2)什么图形？如何构造？

　　(3)第三个顶点在什么位置？  　 (4)特殊情况与一般情况有联系吗？

构造三角形，把线段放在直角三角形中．第三个顶点在什么位置？可能在直线与x轴的交点M或与y轴交点N，或过P点做x,y轴的平行线与直线的交点R、S．

 思路二：在直角△PQM,或直角△PQN中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦值．

思路三：在直角△PQR,或直角△PQS中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,用余弦值．

思路四：在直角△PRS中，求线段PR、PS、RS，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ长．

探索过程． 

　　（思路一）解：直线：，即

　　　　由，

（思路四）解：设，，，

  ，；，

由，

而

 问题6:①上式是由条件下得出，对成立吗？

②点P在直线上成立吗？

 ③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？

 (三).形成结论

点P(x0，y0)到直线：Ax+By+C=0距离公式：

　　　　　适用于任意点、任意直线．

 (四). 应用举例

例1.某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．

要完成这项任务，至少需要多长的电缆？

例2.求点P0(－1,2)到下列直线的距离：

 　①3x=2    ②5y=3    ③2x＋y=10   ④y=－4x+1

强调：直线方程的一般形式． 

例3.已知点，求的面积

例4.求平行线2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距离．

 问题7：如何求两平行线间的距离？距离如何转化？

 解：在直线2x－7y－6=0上任取点P(x0，y0)，则2 x0－7 y0－6=0，点P(x0，y0)到直线2x－7y＋8=0的距离是．

变式:已知直线，与是否平行？若平行，求与间的距离.

(五)         引申思考：

与两平行线间距离公式．

 (六).课堂练习

教材P108  练习 1.2. 教材P109  练习 1.

(七).归纳总结

①    知识：点到直线的距离的公式推导以及应用．

②    数学思想方法：类比、转化（或化归）、数形结合、特殊与一般的方法．

(八).课外作业：

《习案》与《学案》