高中数学人教版新课标A必修23.3 直线的交点坐标与距离公式教案

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3.3.2  两点间的距离 （一）教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。（二）教学重点、难点重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。（三）教学方法启发引导式教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习数轴上两点的距离公式.设问一：同学们能否用以前所学知识解决以下问题：已知两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)求|P1P2|设置情境导入新课概念形成过P1、P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为N1 (0，y)，M2 (x2，0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.在直角△ABC中，|P1P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2，为了计算其长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为M1 (x1，0)过点P2向y轴作垂线，垂足为N2 (0，y2)，于是有|P1Q|2 = |M2M1|2 = |x2 – x1|2，|QP2|2 = |N1N2|2 = |y2 – y1|2.由此得到两点间的距离公式在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到.通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距离公式形成的过程.应用举例例1 已知点A (–1，2)，在x轴上求一点，使|PA| = |PB|，并求|PA|的值.解：设所求点P (x，0)，于是有∴x2 + 2x + 5 = x2 – 4x + 11解得x = 1∴所求点P (1，0)且同步练习，书本112页第1、2题.教师讲解思路，学生上台板书.教师提问：还有其它的解法，由学生思考，再讨论提出解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为线段AB的垂直平分线的方程是在上述式子中，令y = 0，解得x = 1.所以所求点P的坐标为(1，0).因此     通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用.例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).设B (a，0)，D (b，c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a + b，c)，因为|AB|2 = a2，|CD|2 = a2，|AD|2 = b2 + c2 = |BC|2|AC|2 = (a + b)2 + c2，|BD|2 = (b – a)2 + c2所以，|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 = 2 (a2 + b2 + c2)|AC|2 – |BD|2 = 2(a2 + b2 + c2)所以，|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 = |AC|2 + |BD|2因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.此题让学生讨论解决，再由学生归纳出解决上述问题的基本步骤：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量.第二步：进行有关代数运算.第三步：把代数结果“翻译”成几何关系.思考：同学们是否还有其它的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题.让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.归纳总结主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性.师生共同总结让学生更进一步体会知识形成过程课后作业布置作业见习案3.3的第二课时.由学生独立完成巩固深化备选例题例1  已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标【解析】设点P的坐标为 (x，0)，由|PA| = 10，得：        解得：x = 11或x = –5.所以点P的坐标为(–5，0)或(11，0).例2  在直线l：3x – y – 1 = 0上求一点P，使得：（1）P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；（2）P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.【解析】（1）如图，B关于l的对称点B′(3，3).AB′：2x + y – 9 = 0由       解得P(2，5).（2）C关于l对称点由图象可知：|PA| + |PC|≥|AC′|当P是AC′与l的交点时“=”成立，∴.例3  如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程；   （2）沿这条光线从P到Q的长度.【解析】（1）设点Q′(a，b)是Q关于直线l的对称点因为QQ′⊥l，k1 = –1，所以又因为Q′Q的中点在直线l上，所以所以得，所以Q′(–3，–1)因为Q′在入射光线所在直线l1上，设其斜率为k，所以l1：即2x – 5y + 1 = 0（2）设PQ′与l的交点M，由（1）知|QM| = |Q′M|所以|PM| + |MQ| = |PM| + |MQ′| = |PQ′| = 所以沿这光线从P到Q的长度为.入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.