2021学年第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式教案设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离.

用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？

设置情境导入新课

概念形成

1．点到直线距离公式

点P (x0，y0)到直线l：Ax + By + C = 0的距离为

推导过程

方案一：

设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.

此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法.

（1）教师提出问题

已知P (x0，y0)，直线l：Ax + By + C = 0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？

学生自由讨论

（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.

把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题. 寻找最佳方案，附方案二.

方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，

由

得

所以

由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.

所以

可证明，当A = 0时仍适用.

这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.

通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法.

应用举例

例1  求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离.

    解：

例2  已知点A (1，3)，B (3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积.  

学生分析求解，老师板书

例2 解：设AB边上的高为h，则

AB边上的高h就是点C到AB的距离.

AB边所在直线方程为

即x + y – 4 = 0.

点C到x + y – 4 = 0的距离为h

，

因此，

通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.

概念深化

2．两平行线间的距离d

已知l1：Ax + By + C1 = 0

l2：Ax + By + C2 = 0

证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为

.

又Ax0 + By0 + C2 = 0

即Ax0 + By0= –C2，

∴

教师提问：

能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？

学生交流后回答.

再写出推理过程

进一步培养学生化归转化的思想.

应用举例

例3  求两平行线

l1：2x + 3y – 8 = 0

l2：2x + 3y – 10 =0的距离.

解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是

解法二：直接由公式

课堂练习：已知一直线被两平行线3x + 4y – 7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程.

    在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书.

开拓学生思维，培养学生解题能力.

归纳总结

  小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.

老师和学生共同总结——交流——完善

培养学生归纳、概括能力，构建知识网络.

课后作业

布置作业

见习案3.3的第三课时

独立完成

巩固深化