高中人教版新课标A3.2 直线的方程教案

这是一份高中人教版新课标A3.2 直线的方程教案，共11页。教案主要包含了课前检测，重难点例析，课堂总结，课堂练习等内容，欢迎下载使用。
学员编号：             年    级：                   课时数：学员姓名：             辅导科目：数学               学科教师：课     题  教学目的  1、初步理解“直线的方程”与“方程的直线”两个概念；2、掌握直线的倾斜角和斜率的概念，能熟悉运用斜率的定义式和坐标式解题。教学内容一、课前检测 判断下列命题是否正确：　　①一条直线l一定是某个一次函数的图像；　　②一次函数 的图像一定是一条不过原点的直线；　　③如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；　　④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线．解：①不正确．直线 ，不是一次函数；　　②不正确．当 时，直线过原点． 　　③不正确．第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程 的解，但此方程不是第一、三象限角平分线的方程　　④不正确．以方程 ( )的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但 此直线不是方程 ( )的图像．　　说明：直线方程概念中的两个条件缺一不可，它们和在一起构成充要条件．二、知识点梳理1、直线的倾斜角与斜率2、过两点的直线的斜率公式：3、直线的方程：                                 适用范围   (1)点斜式：                                      (2)斜截式：                                             (3)两点式：                                       (4)截距式：                                              (5)一般式方程：(A、B不同时为0)                  三、重难点例析1 已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点．　　（1）求直线l的斜率的取值范围．（2）求直线l的倾斜角的取值范围．　　分析：如图1，为使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角应介于直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角之间，所以，当l的倾斜角小于90°时，有 ；当l的倾斜角大于90°时，则有 ．　　解：如图1，有分析知　　     ＝－1，　　     ＝3．　　∴ （1） 或 ．           （2）arctg3 ． 2、试用解析法证明：△ ABC中，M为BC中点，则AB2+AC2=2(AM2+MC)2。分析：第一步是建立适当的坐标系，所谓适当，是指借助于图形的对称性，或使尽可能多的点在坐标轴上，或尽可能将图形置于第一象限，等等。就本题来讲，可以如图建立坐标系，也可以把点M作为原点，BC所在直线为x轴等。第二步是设出必要的已知量。本题△ABC确定，可设B（0，0），C（a，0），A(b，c)，同时确定与已知量相关的量，如本题M(，0)。第三步是借助于代数运算解决几何问题，利用两点间距离公式可求出欲证等式中相关量的长度。   |AB|2=b2+c2，|AC|2­=(b-a)2+c2∴ |AB|2+|AC|2=a2+2b2+2C2-2ab   |AN|2=(b-)2+c2，|MC|2=(a-)2=∴ 2(|AM|2+|MC|2)=2(b2+c2+)=a2+2b2+2c2-2ab∴ |AB|2+|AC|2=2(|AM|2+|MC|2)最后写出原命题需证的结论：   AB2+AC2=2（AM2+MC2）注：本题结论是很有用的一个结论，同学们最好能够记住它。若不用解析法，这道题该怎么解，请同学们思考。3、已知M(-4，2)，N(2，15)，若直线的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，求直线斜率。分析：思路一：直接法思路。按照题目的逻辑关系，应先求出MN的倾斜角，再求的倾斜角。当然只需求出相关角的三角函数值即可。设直线MN倾斜角为α，则tanα==2∵ tanα>0∴ α∈（0，）∴ sinα=，cosα=则直线α倾斜角为∴ tan∴ 思路二：间接法思路，即利用解方程思想，设直线α倾斜角为α，则直线MN倾斜角为2α。下找关于tanα的等量关系。∵ tan2α=kMN=2∴ =2∴ tanα+tanα-1=0∴ tanα=∵ 2α∈[0，π）∴ α∈[0，∴ tanα=4、已知P（3，-1），M（6，2），N（-），直线过点P，求满足下列条件的的倾斜角范围。（1）直线与线段MN相交；（2）直线与线段MN的延长线（或反向延长线）相交；解题思路分析：可首先求出直线的斜率范围，画出示意图帮助分析。考虑临界状态：   kPN=1，kPM=-   （1）1≤k≤-，即1≤tan≤-        tanα在α∈[0，)上递增，由1≤tanα得≤α<        tanα在（，π）上递增，由tnaα≤-得≤、当α=时，仍与MN相交综上所述，倾斜角α范围为[]或直接看示意图得到α∈[]   （2）思路一：借助于集合的补集思想        kMN=当绕点P绕转[0，π]时，∈R当∥MN时，，直线与直线MN无交点；否则，直线与线段MN相交，或与MN是直线相交。∴ <1，或>-，且≠∴ 倾斜角α≤α<，或<α<π，且α≠arctanα思路二：从运动的角度，研究α在0～π之间变化时，直线与MN的位置关系。5、若直线的斜率k=1-m2（m∈R），求直线的倾斜角α范围。解题思路分析：首先求出斜率k的范围，将等量关系k=1-m2看成是k关于m的二次函数，则k≤1，即tanα≤1。其次利用正切函数的单调性：0≤tanα≤1时，0≤α≤；tanα<0时，α>。∴ α∈[0，]∪（，π）注：由tanα范围求α范围，也可利用单位圆或正切函数图象。6、过P（6，）的直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P分有向线段所成的分比λ=，求直线的的斜率和倾斜角。解题思路分析：由斜率的坐标公式，只需求出A，或B的坐标即可。利用解方程的思想。思路一：设A（a，0），B（0，b）由分比公式得：，a=9 ，A（9，0），AB倾解角或利用分比λ公式：λ=得：   ，b=，B（0，下略思路二：利用定比分点公式：   ∴ ∴ 下同思路一。 四、课堂总结直线的倾斜角与斜率⑴当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴的正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。当直线 与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。如图一、图二所示。   ⑵斜率：直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母表示即 我们很容易得出倾斜角是的直线没有斜率。除此之外，如果已知直线上的两点（当时）。（注意：任意一条直线都有倾斜角，但倾斜角是的直线没有斜率。）两条直线的平行与垂直的判定⑴对于两条不重合的直线，其斜率分别为，有：请注意：若直线可能重合时，我们得到那么，拿来两条直线我们知道斜率相等后，怎样排出两条直线重合的情况呢？只需比较一下两条直线的截距即可，截距相等即为重合，截距不等即为平行。这里要特别说明一种情况是两条直线没有斜率，那么这时两条直线均与轴垂直，倾斜角是，从位置关系很容易得出两直线是平行的。 ⑵设两条直线的的斜率分别为则这里要特别的说明的是如果一条直线与轴垂直，则这条直线没有斜率，与它垂直的直线应该与轴平行，斜率为0。这种情况应该针对题目，仔细分析，也是很容易判断的。   直线方程⑴点斜式方程：已知直线上一点和直线的斜率可以确定一条直线基本形式：⑵斜截式方程：已知直线的斜率和直线在轴上的截距可以确定一条直线基本形式：我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距；我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距。⑶两点式方程：已知两点可以确定一条直线基本形式：（思考：如果那直线方程是什么呢？）⑷一般式方程：基本形式：  直线交点坐标与距离公式⑴直线的交点坐标先判断直线位置关系，在平面内不平行（不重合）的两条直线一定有交点，其交点坐标就是联立两条直线方程解出的公共解。⑵距离公式①两点间距离公式：②点到直线的距离公式：③两条平行线的距离：I）已知 ，点在上，求点到直线的距离即为两平行直线的距离。II）已知  与直线相关的对称问题⑴几种基本对称：已知P(x,y)点P关于x轴对称点坐标______点P关于y轴对称点坐标_____点P关于原点对称点坐标______点P关于x=y对称点坐标_________点P关于x=-y对称点坐标_________解：问题：如果A，B，AB中点的坐标？ ⑵求线关于点对称直线： 例1：已知直线：2x+3y-1=0求该直线关于点B(1,7)的对称直线。解：所以设所求直线为在上任取一点求A关于点B的对称点C坐标利用中点公式，解得对称点坐标为而点C应该在所求直线上代入满足方程解得b等于15所以（注意线关于点对称直线斜率不变。） ⑶求点关于线的对称点：例2：点P(2,1)求点P关于直线的对称点坐标。解：设所求点坐标为因为是点关于直线的对称点，所以又因为即①并且线段的中点应该在直线上，将中点代入直线方程，中点坐标为带入直线有②联立两式解得   ⑷求平行线间的对称问题：例：求直线关于直线的对称直线方程。解：设所求直线为设为与间距离，为与所求直线间距离或2（舍）  五、课堂练习     1、若直线过点（1，2），（4，2+），则此直线倾斜角为：A、            B、            C、            D、2、设有斜率的直线一定是：A、过原点的直线                    B、垂直于x轴的直线C、垂直于y的直线                  D、垂直于坐标轴的直线3、下列命题中正确的是：A、直线倾斜角为α，则些直线的斜率为tanαB、直线的斜率为tanα，则此直线倾斜角为αC、直线的倾斜角为α，则sinα≥0D、直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π2、若三点A（2，3），B（a，4），B（8，a）共线，则a值为：A、  0             B、5             C、0或5          D、0或-5    5、直线：y=kx+6沿x轴负向平移3个单位，再沿y轴正向平移1个单位，回到原位置，则k等于：A、-            B、-3            C、             D、36、已知直线的倾斜角α满足sinα=，则直线的斜率是：A、             B、            C、或-        D、或-7、过点A（-2，m），B（M，4）的直线倾斜角为π-arctan，则实数m的值是：A、10             B、2             C、0              D、-88、如图直线1、2、3的斜率分别为k1、k2、k3，则：A、k1<k2<k3        B、k3<k1<k2       C、k3<k2<k1        D、k1<k3<k29、若α是直线的倾斜角，则sin(α)值属于：A、（-1，）     B、[-1，]    C、（，）   D、[-，）10、过两点A（4，y），B（2，-3）的直线倾斜角是，则y等于：A、-1           B、-5            C、1             D、5      1、  A  。，，，。    2、  B  。    3、  C  。    4、  C  。kAB，kAC=，代入kAB=kAC得a2-5a=0，a=0，或a=5。    5、  A  。思路一：考虑方程特征，平移后直线方程为y-1=k(x+3)+b，y=kx+3k+b+1，由已知3k+b+1=b，3k+1=0，k=-。思路二：考虑直线上的点，设P为上任一点，P（x，y），点P平移后为P’，P’(x-3，y+1)。由已知P’，P’(x-3)，y+1)，由已知P’∈，。6、  D  。∵α∈(0，π)，sinα=，∴当α∈[0，）时，tanα=；当α∈（，π）时，tanα=-。7、  A  。kAB=tan(π-arccos)=-tan(arctan)=-tan(arccos)=-，∴，∴m=0    8、  D  。    9、  B  。∵0≤α<π，∴≤，由图象可知，-1≤sin()≤。10、  C  。=-1，∴，∴y=1 六、课后作业1．若直线的倾斜角为，且满足，则直线的斜率为             (   )   (A)      (B)      (C)      (D)或2．若为三角形中最大内角，则直线L：的倾斜角的范围是  （   ） (A)              (B)(C)．              (D)3．如果直线L沿轴负方向平移5个单位，再向轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么，这条直线L的斜率是                                      （  ）   (A)      (B)     (C)        (D)4．设点A(2，)，B(，)，直线过点P(1，1)且与直线AB相交，则的斜率的取值范围是                                                              (    )   (A)或     (B)或    (C)    (D)5．过点P(1，1)作直线，与两坐标轴相交所得三角形面积为10，则这样的直线有 (   )   (A)1条      (B)2条      (C)3条       (D)4条6．不论m为何实数，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0 恒过定点                   （    ）   （A）(1, －)    （B）(－2, 0)    （C）(2, 3)   （D）(－2, 3)7．实数、满足，则的最大值、最小值分别为    、    8．过( 2 , 6 )且x, y截距相等的直线方程为                9．直线方程为(3m＋2)x＋y＋8=0, 若直线不过第二象限，则m的取值范围是         10．若两点A(x1, y1)和B(x2, y2)的坐标分别满足3x1－5y1＋6=0和3x2－5y2＋6=0，则经过这两点的直线方程是                    11．直线 x＋ycosα－1＝0 的倾斜角的取值范围是                12．直线l：x＋－1＝0（a∈R）的倾斜角α的取值范围是                 13．直线2x+（1—cos2）y—sin=0（）和坐标轴围成的三角形面积为               .14．已知直线：和点P(6，4)，在上求一点Q，使直线PQ、、轴在第一象限围成的三角形面积最小，并求出面积的最小值.        15．已知△ABC中，A点的坐标为(-8，2)，AB、AC边上的中线所在的直线方程分别为和，求BC所在的直线方程.