数学必修2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率教学设计

3.1.2  两条直线平行与垂直的判定

整体设计

教学分析

    直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.

三维目标

1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.

2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.

重点难点

教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直.

教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢?

思路2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.

推进新课

新知探究

提出问题

①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？

②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？

③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？

④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？

⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？

⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？

活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.

②数形结合容易得出结论.

③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在.

④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.

⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.

图1

充分性：如果k1=k2,即tanα1=tanα2,

∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l1∥l2.

⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.

讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.

②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.

③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件.

④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.

⑤l1∥l2k1=k2.

⑥l1⊥l2k1k2=-1.

应用示例

例1  已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判断直线BA与PＱ的位置关系，并证明你的结论.

解:直线BA的斜率kBA==0.5,

直线PQ的斜率kPQ==0.5,

因为kBA=kPQ.所以直线BA∥PQ.

变式训练

    若A(-2,3),B(3,-2),C(,m)三点共线，则m的值为(    )

A.                 B.-                C.-2                D.2

分析：kAB=kBC,,m=.

答案：A

例2  已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.

解：AB边所在直线的斜率kAB=-,

CD边所在直线的斜率kCD=-,

BC边所在直线的斜率kBC=,

DA边所在直线的斜率kDA=.

因为kAB=kCD,kBC=kDA,所以AB∥CD,BC∥DA.

因此四边形ABCD是平行四边形.

变式训练

    直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k1，k2.

（1）a=_____________时，α1=150°；

（2）a=_____________时，l2⊥x轴；

（3）a=_____________时，l1∥l2；

（4）a=_____________时，l1、l2重合；

（5）a=_____________时，l1⊥l2.

答案：（1）  （2）2  （3）3  （4）-1  （5）1.5

知能训练

习题3.1  A组6、7.

拓展提升

问题：已知P（－3，2），Q（3，4）及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ的延长线、QP的延长线相交，试分别求出a的取值范围.（图2）

图2

解：直线l：ax+y+3=0是过定点A（0，-3）的直线系，斜率为参变数-a，易知PQ、AQ、AP、l的斜率分别为：kPQ=，kAQ=，kAP=，k1=-a.

若l与PQ延长线相交，由图,可知kPQ＜k1＜kAQ，解得-＜a＜-；

若l与PQ相交，则k1＞kAQ或k1＜kAP，解得a＜-或a＞；

若l与QP的延长线相交，则kPQ＞k1＞kAP，解得-＜a＜.

课堂小结

通过本节学习，要求大家：

1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.

2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.

3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.

4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题.

作业

习题3.1  A组4、5.

设计感想

    本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励.