高中人教版新课标A3.1 直线的倾斜角与斜率教学设计

  年    级：                   课时数：                  辅导科目：  数学           

课    题

直线的倾斜角与斜率

两条直线平行与垂直的判定

教学目的

1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率； 

2．掌握过两点的直线斜率的计算公式； 

3．能用公式和概念解决问题. 

4.掌握直线与直线的位置关系

5．掌握直线与直线的位置关系，掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法。

重点：倾斜角与斜率的概念

难点：直线的斜率与倾斜角的关系，两条直线的平行与垂直的判定方法。

教学内容

直线的倾斜角与斜率

一、课前准备

复习 1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不 能确定一条直线呢? 

复习 2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 

二、新课导学

探究点一：

①倾斜角的概念

当直线与轴相交时，取轴作为基准， 轴正向与直线  向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angle of inclination）. 

发现：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角. 

注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾 斜角为0度.. 

思考：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度” ，则坡度的公式是怎样的？

②斜率与倾斜角的关系

一条直线的倾斜角  ( ) 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为k=  tan     . 

试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为

（1）=0°时，则         

（2）0°<< 90°,则         

（3）= 90°，,则         

（4）90 °<< 180°，则         

③ 已知直线上两点(,()的直线的斜率公式：

 .

探究任务二： 

1.已知直线上两点 运用上述公式计算直线的斜率时，与 A B 两点坐标的顺序有关吗？ 

2．当直线平行于 轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？

三、典型例题分析

例1  已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

⑴           ；

⑵          ；

⑶          

⑷          

解（略）

变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.

  （1）=0；   （2） = 1 ；（3）  = ； （4）不存在. 

解（略）

例2  求经过两点  (2,3), (4,7)  A B  的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.

解（略）

变式. 

1 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. 

（1）  A(2,3),B ( 1,4)   ； （2） A (5,0), B(4, 2)  .

2．画出斜率为0,1, -1 且经过点(1,0)的直线. 

3．判断  A( -2,12),B (1,3), C(4, -6) 三点的位置关系，并说明理由. 

四、总结提升

1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角 的范围是[0,180°). 

2.直线斜率的求法：

⑴利用倾斜角的正切来求；

⑵利用直线上两点(,的坐标来求；

⑶当直线的倾斜角  = 90°时，直线的斜率是不存在的.

3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：

五、当堂检测

1.  下列叙述中不正确的是（  ）. 

A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 

B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角 

C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0 °或90°

D．若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为tana 

2.  经过A  ( 2,0), B( 5,3) 两点的直线的倾斜角 （  ）. 

A．45° B．135° C．90 °D．60 °

3.  过点 P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为(        ). 

A.1                B.4                C.1 或 3          D.1 或 4 

4.直线经过二、三、四象限，的倾斜角为 ，斜率为 ，则为     角；的取值范围         . 

5、已知直线  的倾斜角为 ，则  关于  轴对称 的直线的倾斜角 为________. 

六、课后作业：

1.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线斜率是0,则AC、AB所在的直线斜率之和为（   ）

 A.   B.0    C.    D.

2.过点（0，）与点（7，0）的直线，过点（2，1）与点（3，）的直线，与两坐标轴围成四边形内接于一个圆，则实数k为（  ）

 A.    B.3     C.    D.6

3.经过两点A（2,1），B（1,）的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（  　）

　  Ａ.   Ｂ.  Ｃ.  Ｄ.或

4.若三点A（2 , 2）,B（）,C（0，）（）共线，则的值等于________。

5.已知直线l的斜角，则直线l的斜率的取值范围是_________。

6.  已知点 A (2,3),B ( 3, 2)  ，若直线  过点 p (1,1)  且与线段AB 相交，求直线  的斜率 的取值范围. 

7.  已知直线 过  两点，求此直线的斜率和倾斜角.

两条直线平行与垂直的判定

一、课前引入：

问题1：平面内两条直线的位置关系

问题2：两条直线的平行和直线的倾斜角和斜率之间的关系

二、知识梳理

问题探究1：

（1）、如何判定两条不重合直线的平行？

（2）、当两条直线斜率不存在，位置关系如何？

（3）、直线l1和直线l2的斜率k1=k2，两条直线可能重合的情况下：两条直线位置关系怎样？

总结归纳直线与直线平行的判定方法

例题：判断下列各小题中的直线与是否平行。

（1）经过点A（-1，-2）,B(2,1), 经过点M（3，4），N（-1，-1）

答案：不平行

（2）经过点A（0，1）,B(1,0), 经过点M（-1，3），N（2，0）

答案：平行

例题：判断下列各小题中的直线与是否垂直。

（1）经过点A（-1，-2）,B(1,2), 经过点M（-2，-1），N（2，1）

答案：不垂直

（2）经过点A（3，4）,B(3,100), 经过点M（-10，40），N（10，40）

答案：垂直

问题探究2

（1）、如何利用直线的斜率判定两条直线的垂直？

（2）、两条垂直的直线斜率有怎样的关系？

总结直线与直线垂直的判定方法：

例题：已知点A（-2，-5），B（6，6），点P在轴上，且，试求点P的坐标。

分析：利用两直线的条件建立点p的坐标满足的方程与关系式。

答案;P的坐标为（0，-6）或（0，7）。过程略

变式：已知定点A（-1，3），B（4，2），以A、B为直径的端点，作圆与轴有交点C，求交点C的坐标。

分析：本题中有三个点A、B、C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以，因此，必有，列出方程，求解即可。答案：C（1，0）或（2，0）。过程略

例5（创新应用）

已知一直线恒过定点A（2，1），直线外有一点B（3，-2），问当直线的斜率为多少时，点B（3，-2）到直线的距离最大？最大距离是多少？

分析：结合图形观察直线绕点A转动时，点B到直线距离的变化

答案：当=时，最大距离为。过程略

变式：已知定点A（0，1），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是__________

答案：()。过程略

三、重难点分析

例1．已知点，则线段的垂直平分线的方程是______________

例2．已知，则直线通过（     ）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 

C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

例3．直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ）

A．      B．         C．     D．

例4．已知直线过点，求过点P且与直线所夹的锐角为的直线的方程。

例5．过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为．

四、归纳总结

1、两条直线平行的判定程序：

（1）斜率存在的情况

（2）直线斜率不存在的情况

2、两条直线垂直的判定程序：

（1）斜率存在的情况

（2）直线斜率不存在的情况

五、课后作业：

1、      有如下几种说法：①若直线，都有斜率且斜率相等，则//;②若直线，则他们的斜率之积为-1③两条直线的倾斜角的正弦值相等，则两直线平行。

以上三种说法中，正确的个数是（  ）

A、  1         B、2       C、3    D、0

2、顺次连接A（-4，3），B（2，5），C（6，3），D（-3，1）四点所组成的图形是（  ）

A、平行四边形    B、直角梯形   C等腰梯形    D 以上都不对

3、若过点P（1，4）和Q（a，2a+2）的直线与直线平行，则a的值是（ ）

    A、1          B、-1         C         D 

4、已知直线的斜率为3，直线经过点A(1,2),B(2,a).若直线//,则a=______;若，则a=______

5、已知A（1，-1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D使CDAB且CB//ＡＤ