人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案

学员编号：                年    级：             时数： 3  

学员姓名：                辅导科目：             学科教师：

课    题

 直线、平面垂直的性质

授课日期及时段

教学目的

1、使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；

2、能运用性质定理解决一些简单问题；

3、了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

教学内容

一、课前检测

1.如果直线和平面内的无数条直线都垂直,那么(      )

A.       B.与相交             C.          D.与的关系不确定

2.如图，PA⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是（       ）。

A.4       B.3        C.2        D.1

3.两条异面直线在同一平面内的射影是(       ).

A.两条平行直线             B.两条相交直线

C.一个点和一条直线         D.以上都有可能

4.已知Rt△ABC中，∠C=90°,点P在平面ABC外，且PA=PB=PC,

PO⊥平面ABC于点O，则O是（       ）

A.AC边的中点       B.BC边的中点

C.AB边的中点       D.以上都有可能

5.a,b表示两条直线，表示平面，给出以下命题，其中正确的命题是（       ）

①a⊥,b∥a⊥b           ②a⊥, a⊥b b∥

③a∥, a⊥b b⊥         ④a⊥,b∥ab⊥

A.①②        B.②③          C.③④          D.①④

6.已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，且P到这个四边形各边的距离相等，那么这个四边形一定是（       ）。

A.圆内接四边形       B.矩形        C.圆外切四边形       D.平行四边形

参考答案：

1. 当与内的无数条平行直线垂直时，和的关系不能确定，故选D。
2. △PAC, △PAB, △PCB, △ACB都是直角三角形，故选A。
3. 选D。
4. 由PA=PB=PC得OA=OB=OC，∴O是Rt△ABC的外心∴O是AB边的中点。故选C。
5. 对于②，b可能在内；对于③，b可能在内，也可能b∥。故选D。
6. 由题意可知P在平面ABCD内的射影到四边形的各边距离相等，故选C。

二、知识梳理

直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质

（一）创设情景，揭示课题

     问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？

让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。（自然进入课题内容）

　一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
　　符号语言：
　　图形语言：
　　　　　　　　　

（二）研探新知

1、操作确认

观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？

图2.3-4                               图2.3-5

2、推理证明

引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，

假定b与a 不平行，且，b，是经过O与直线a平行的直线，直线b与b，确定平面，设，因为a⊥，b⊥，所以a⊥直线c，b⊥直线c，又因为b，∥直线a，所以b，⊥直线c，这样在平面内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b，与c垂直，显然不可能，因此b∥a

然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出：

垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号语言：
　　图形语言：
　　　　　

例1：已知直线a，b和平面，且a⊥b，a⊥，则b与的位置关系是  b在上或b∥

例2：判断正误

 （1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行  （   ）

 （2）垂直于同一个平面的两条直线互相平行   （   ）

 （3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直。（   ）

（三）应用巩固

例3：已知直线a⊥b，b⊥α，aα，求证：a∥α

略证：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则

b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′

作平面β，设α∩β＝a′

∵b′∥b，a⊥b       ∴a⊥b′

∵b⊥α，b′∥b      ∴b′⊥α

又∵a′α          ∴b′⊥a′

由：a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′

∴a∥α

例4：已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，（1）求证：BD1⊥平面B1AC

（2）求B到平面B1AC的距离。

（1）证明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C

∴B1C⊥面ABC1D1     又：BD1面ABC1D1

∴B1C⊥BD1

∵B1B⊥AC，BD⊥AC

∴AC⊥面BB1D1D     又：BD1面BB1D1D

∴AC⊥BD1

∴BD1⊥平面B1AC

（2）解：∵O∈BD

∴连结OB1交BD1于E

又O∈AC，   ∴OB1面B1AC

∴BE⊥OE，且BE即为所求距离

∵＝

∴BE＝·OB＝· a＝a

（四）类比拓展，研探新知

     类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？

引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。然后师生互动，共同完成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理：

     两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

　符号语言：
　　图形语言：
　　　　　　　　

（五）巩固深化、发展思维

 例5、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？

（答：直线a必在平面α内）

例6、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，a   α，则直线a与平面α具有什么位置关系？

三、重点突破

例7：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，M、N分别是AB、A1C的中点，

（1）求A到平面A1DCB1的距离；（2）求AB到平面A1DCB1的距离；

（3）求证：MN是异面直线AB、A1C的公垂线段，并求其长度。

解：（1）连结AD1，设AD1∩A1D＝E，则AD1⊥A1D

且E为A1D的中点，AE＝a，

又：AD1⊥A1B1，A1B1∩A1D＝A1

∴AE⊥平面A1DCB1

∴AE的长为所求距离，即a

（2）∵AB∥A1B1，A1B1平面A1DCB1，AB平面A1DCB1

∴AB∥平面A1DCB1

由（1）知，AE⊥平面A1DCB1

∴所求距离为a

（3）∵EN为△A1DC的中位线

∴ENDC，ENAB

即ENAM且∠EAB＝900

∴四边形AMNE为矩形

∴MN⊥AB，AE∥MN

由（1）知，AE⊥平面A1DCB1

∴MN⊥平面A1DCB1        又：A1C平面A1DCB1

∴MN⊥A1C

∴MN是异面直线AB、A1C的公垂线段，MN＝AE＝a

例8：已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α内，AB︰CD＝4︰6，AB到α的距离为10cm，求梯形对角线的交点O到α的距离。

解：过B作BE⊥α＝E，连结DE

过O作OF⊥DE

∵AB∥CD，ABα，CDα，

∴AB∥α，又BE⊥α

∴BE即为AB到α的距离，BE＝10cm且∠BED＝900

∵OF⊥DE   ∴OF∥BE得 ＝

∵AB∥CD      ∴△AOB∽△COD

∴＝＝，  得＝＝

又：＝，BE＝10cm

∴OF＝×10＝6（cm）

∵OF∥BE，BE⊥α

∴OF⊥α，即：OF即为所求距离为6cm。

四、课堂练习

一、选择题

1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于（     ）。

A.AC        B.BD       C.A1D1       D.AA1

2.下列命题中真命题是（      ）。

A.和平面的斜线垂直的直线也和这条斜线的射影垂直

B.和斜线的射影垂直的直线也和斜线垂直

C.如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

D.和斜线的射影不垂直的直线也和斜线不垂直

3.从平面外一点P作与相交的直线，使得P与交点的距离为1，则满足条件的直线条数一定不可能是（       ）.

A.0          B.1          C.2       D.无数个

4.已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，并且PA=6,AB=3,AD=4，则P到BD的距离是（      ）.

A.           B.          C.            D.

5. Rt△ABC的斜边AB在平面内，直角顶点C在平面外，C在上的射影为D（不在AB上），则△ABD是（       ）。

A.直角三角形      B.锐角三角形       C.钝角三角形     D.锐角或钝角三角形

6.如图1，在正方形SG1G2G3中，E,F分别是边G1G2,G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图2，使G1,G2,G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是（      ）。

A.SG⊥平面EFG         B. SD⊥平面EFG

C.FG⊥平面SEF         D. DG⊥平面SEF

二、填空题

7.室内有一直尺,无论怎样放置,地面上总有这样的直线与该直尺的边所在的直线__________.

8.在空间四边形ABCD中，如果AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD的位置关系是__________。

9.在长为6的线段AB的垂直平分面内有两点C,D,并且AC=5,AD=8,则C,D两点间的最大距离为__________;最小距离为______________.

10.如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是__________（要求:把可能的图序号都填上）。

参考答案：

1、连结B1D1，由正方体的性质知B1D1和BD平行。在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1,又∵CC1⊥平面A1C1，∴CE在平面A1C1上的射影为A1C1，∴B1D1⊥CE且B1D1∥BD∴BD⊥CE,故选B。

2、利用三垂线定理及逆定理要注意条件：直线在平面内。故选C。

3、设P到平面的距离为d，若d>1，则这样的直线不存在；若d=1，则有1条；若0<d<1，则有无数条。故选C。

4、P到BD的距离是,故选A。

5、∵AD<AC,BD<BC∴AD2+DB2<AC2+BC2=AB2∴∠ADB为钝角,故选C.

6、在图1中,SG1⊥G1E,SG3⊥G3F∴在图2中SG⊥GE,SG⊥GF∴SG⊥平面EFG,故选A.

7、由三垂线定理易得填垂直。

8、过A作AH⊥平面BCD∵CD⊥AB，BC⊥AD∴CD⊥BH，BC⊥DH，故H为△BCD的垂心，连结CH，则BD⊥CH，故BD⊥AC。

9、C,D两点间的最大距离为,

最小距离为

10、四边形BFD1E在平面ABCD与平面A1B1C1D1，面ABB1A1与面DCC1D1的射影都是②；四边形BFD1E在面ADD1A1与面BCC1B1的射影是③，故填②③。

五、课堂小结

1、直线与平面垂直的性质

2、平面与平面垂直的性质

3、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。

六、课后练习

第1题. 在正方形中，，分别是及的中点，是的中点，沿，及把，，折起使，，三点重合，重合后的点记作，那么在四面体中必有（　　）

Ａ．面   Ｂ．面

Ｃ．面   Ｄ．面

答案：Ａ．

第2题. 直线不垂直于平面，则内与垂直的直线有（　　）

Ａ．条  Ｂ．条  Ｃ．无数条  Ｄ．内所有直线

答案：Ｃ．

第3题. 已知三条直线，，，三个平面，，．下面四个命题中，正确的是（　　）

Ａ．   Ｂ．

Ｃ．   Ｄ．

答案：Ｄ．

第4题. 在空间四边形中，若，，为对角线的中点，下列判断正确的是（　　）

Ａ．平面平面  Ｂ．平面平面

Ｃ．平面平面  Ｄ．平面平面

答案：Ｄ．

第5题. ，，，是四个不同平面，若，，，，则（　　）

Ａ．且

Ｂ．或

Ｃ．这四个平面中可能任意两个都不平行

Ｄ．这四个平面中至多有一对平面平行

答案：Ｂ．

第6题. 设，是异面直线，下列命题正确的是（　　）

Ａ．过不在，上的一点一定可以作一条直线和，都相交

Ｂ．过不在，上的一点一定可以作一个平面和，垂直

Ｃ．过一定可以作一个平面与垂直

Ｄ．过一定可以作一个平面与平行

答案：Ｄ．

第7题. 设为平行四边形对角线的交点，为平面外一点且有，，则与平面的关系是　　　　　　．

答案：垂直

第8题. 已知，是异面直线，，，，是，的公垂线，求证：．

答案：证明：过作，则．

，．

又，，设，确定平面，．

又，，．同理．

．．

第9题. 如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，，，．

求证：是异面直线与的公垂线．

答案：证明：底面，．

已知，面．．

又，且．

是矩形，．

又，，平面．

又，平面．

．

是异面直线与的公垂线．

第10题. 在正三棱柱中，若．求证：．

答案：证明：取中点，中点，连结，，，，由正三棱柱性质知，，．

又正三棱柱侧面与底面垂直，面，面，

，分别为与在面上的射影．

，．

又 ，．．

．