高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案设计

这是一份高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案设计，共13页。教案主要包含了课前检测，知识梳理，重点突破，课堂练习，课堂小结，课后练习等内容，欢迎下载使用。
学员编号： 年 级： 课时数： 3
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
课 题
直线、平面垂直的判断
授课日期及时段

教学目的
1、使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
2、使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
3、培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
教学内容
一、课前检测
第1题. 已知直线，和平面，且，，则与的位置关系是　　　．
答案：或．
第2题. 已知两个平面垂直，下列命题
一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．
一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．
一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．
过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确的个数是（ 　　）
A．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０
答案：Ｂ．
第3题. 已知平面，，且，，求证．
答案：证明：设，在平面内作直线．
因为，所以．
过作一个平面与平面相交于直线，
由，得．
又，所以．因为，所以．


第4题. 已知平面，，满足，，，求证：．
答案：在平面内做两条相交直线分别垂直于平面，与平面的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线．
二、知识梳理
1、直线与平面垂直的判定
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、教师对学生的例子给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知
1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？探讨，并概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。
L

p
α
图2-3-1
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
A



B D C
图2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。　
　　　　　　　　
　　特征：线线垂直线面垂直
特别强调：
a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
　
知识点二：斜线、射影、直线与平面所成的角
　　一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
　　　　　　　　　　


（三）实际应用,巩固深化
例1 ：如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.
　　(1)求证：SD⊥平面ABC；
　　(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.
　　

答案：证明：（１），为的中点，．
连结．
在中，则．
，．
又，面．
（２），为的中点，
．
又由（１）知面， ．
于是垂直于平面内的两条相交直线．
面．


例２：. 在三棱锥中，侧面与面垂直，．





（１） 求证：；
（２） 设，求与平面所成角的大小．

答案：证明：如图（１）所示，取中点，连结，．
，．
又平面平面，面．
，．
可知 为的外接圆直径．
． 图（１）







图（２）
（２）解：如图（２），作于，连结，．
，，．
平面．
面面，交线为．
直线在平面内的射影为直线．
为与平面所成的角．
在中，，．
在中，，．
在中，．
在中，．
．
即与平面所成角为．

２、平面与平面垂直的判定
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）


角
二面角
图形
A
边
顶点 O 边 B
A
梭 l β
B
　　α
定义
从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形
从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成
射线 — 点（顶点）一 射线
半平面 一 线（棱）一 半平面
表示
∠AOB
二面角α-l-β或α-AB-β
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平
面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， β B
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A　　　α

图2.3-3
（三）应用举例，强化所学
例３. 如图所示，是圆的直径，是异于，两点的圆周上的任意一点，垂直于圆所在的平面，则
（１），，，中，直角三角形的个数是（　　）





Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ．

（２）求证：平面ＰＡＣ⊥平面PBC




三、重点突破




例4. 如图，已知平面，，直线满足，，，试判断直线与平面的位置关系．





答案：解：在内作垂直于与交线的直线，因为，所以．
因为，所以．又因为，所以．
即直线与平面平行．

例5. 已知直线，有以下几个判断：若，则；若，则；若，则；若，则．上述判断中正确的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ．


变式训练1. 是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：；；；．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题　　　　　　．

答案：．

例6．如图，已知四棱锥P－ABCD
的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，
PH是四棱锥的高．
(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥
P－ABCD的体积．
(1)证明：因为PH是四棱锥P－ABCD的高，所以AC⊥PH.
又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，
所以AC⊥平面PBD，故平面PAC⊥平面PBD.
(2)解：因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝，所以HA＝HB＝.
因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝，HD＝HC＝1.
可得PH＝，等腰梯形ABCD的面积为
S＝AC×BD＝2＋.
所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝.


四、课堂练习
一、选择题
1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 (　　)
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
答案：B
2．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是 (　　)
A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
解析：由“一直线若垂直于两平行平面中的一个，则也必垂直于另一个平面”可知C项正确．
答案：C
3．设a，b，c表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，下列命题中不正确的是 (　　)
A.⇒a⊥β B.⇒a⊥b
C.⇒c∥α D.⇒b⊥α
解析：依次判断各选项只有D是错误的，因为由条件只能推出直线b垂直于平面α内的一条直线，不符合线面垂直的判定定理条件(只有直线垂直于平面内的两条相交直线才可)，故选D.
答案：D
4．下面四个命题：
①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；
②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；
③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；
④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等．”
其中正确命题的序号是 (　　)
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
解析：a∥b推不出a平行于b所在平面，反之也不成立．
∴①不正确．由线面垂直的定义知②正确．
a、b不相交时，a、b可能平行，此时a、b共面．③不正确．
当α∥β时，α内一定有三个不共线的点到平面β的距离相等．反之，设A、B、C是α内三个不共线的点，当β过△ABC的中位线时，A、B、C三点到β的距离相等，但此时α、β相交，④正确．
答案：C
5．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题：
①若α∥β，m⊂α，则m∥β ②若m∥α，n⊂α，则m∥n
③若α⊥β，m∥α，则m⊥β ④若m⊥α，m∥β，则α⊥β
其中正确的是 (　　)
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
解析：由两个平面平行的定义可得若α∥β，m⊂α，则m∥β，即命题①正确；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，即命题②不正确；若α⊥β，m∥α，则m与β平行或相交或在β内，即命题③不正确；由m∥β可得在平面β内可取一直线a与m平行，由m⊥α可得a⊥α，则α⊥β，即命题④正确，综上可得正确的命题序号为①④，故应选C.
答案：C
二、填空题
6． m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
(1)若m⊥α，m⊥β，则α∥β；(2)若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β；(3)若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；(4)若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β.
其中正确的命题是________(填上所有正确的命题的序号)．
解析：垂直于同一条直线的两个平面平行，(1)正确；借用正方体易知(2)错误；这两个平面可能相交或平行，(3)错误；过两条异面直线只能作一对平行平面，(4)正确．
答案：(1)(4)
7．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)．
解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.
答案：充分不必要
8．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
解析：(1)α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交
直线确定的平面α平行于平面β，正确．
(2)平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l
平行于α，正确．
(3)如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题．综上所述，真命题的序号为(1)(2)．
答案：(1)(2)
三、解答题
9．四面体ABCD中，AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，且EF＝AC，
∠BDC＝90°.
求证：BD⊥平面ACD.
证明：如图所示，取CD的中点G，
连接EG、FG、EF.
∵E、F分别为AD、BC的中点，
∴EG綊AC，FG綊BD.
又AC＝BD，∴EG＝FG＝AC.
在△EFG中，EG2＋FG2＝AC2＝EF2.
∴EG⊥FG.∴BD⊥AC.又∠BDC＝90°，
即BD⊥CD，AC∩CD＝C，∴BD⊥平面ACD.
五、课堂小结
1、直线与平面垂直的定义和判定
2、一条直线与平面所成的角
3、二面角的概念。
4、平面与平面互相垂直的判定定理。
特点：
平面与平面垂直
直线与直线垂直
直线与平面垂直



5、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。

六、课后练习
1．填空。
(1) 过直线外一点可作_____条直线与该直线平行，可作______条直线与该直线垂直；
(2) 过平面外一点可作_____条直线与该平面平行，可作______条直线与该平面垂直。
2．一条直线与一个平面垂直的条件是 ( 　 )
A. 垂直于平面内的一条直线　　 B. 垂直于平面内的两条直线
C. 垂直于平面内的无数条直线　 D. 垂直于平面内的两条相交直线　
3．如果平面α外的一条直线a与α内两条直线垂直，那么 ( )
A. a⊥α B. a∥α C. a与α斜交　 D. 以上三种均有可能　
4．判断题：（对的打“√”，错的打“×”）
(3) 过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ( )
(4) 过已知平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行 ( )
(5) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ( )
(6) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 ( )
(7) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 ( )
(8) 过已知直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行。 ( )
5．如图2－36：已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，
C是异于A、B的⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于E　，
求证：AE⊥平面PBC。


6．图2－37：BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，作PD⊥BC于D，连结AD，则图中共有直角三角形_________个。

7．如图2－38：AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则BC和PC_____________。

8．如图2－39：已知ABCD是空间四边形，AB＝AD，CB＝CD
求证：BD⊥AC

9．如图2－40：P是△ABC所在平面外的一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H是垂足。
求证：H是ABC的垂心。


10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点，O为底面ABCD中心，
求证：B1O⊥平面PAC。



参考答案
1．1，无数；无数，1 2．D 3．D 4．√；×；×；√；√；×。
5．证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC
又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE
∵PC⊥AE且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC。
6．
解：Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP。
可证BC⊥平面APD，由BC⊥AD，BC⊥PD
可得Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC
共8个。

7．垂直
解：∵PA⊥平面ABC，而BC平面ABC
∴PA⊥BC
又∵AB是圆O的直径，
∴AC⊥BC
又∵PA∩AC＝A
∴BC⊥平面PAC，且PC平面PAC
∴BC⊥PC即BC和PC垂直

8．证明：设BD的中点为K，连结AK、CK，
∵AB＝AD，K为BD中点
∴AK⊥BD
同理CK⊥BD，且AK∩KC＝K
∴BD⊥平面AKC
∴BD垂直于平面AKC内的所有直线
∴BD⊥AC
9．证明：∵PA⊥PB，PB⊥PC，
∴PA⊥平面PBC，BC平面PBC
∴BC⊥PA
∵PH⊥平面ABC，BC平面ABC
∴BC⊥PH
∴BC⊥平面PAH，AH平面PAH
∴AH⊥BC，同理BH⊥AC，CH⊥AB，
因此H是△ABC的垂心。
10．证明：如图：连结AB1，CB1，设AB＝1
∵AB1＝CB1＝，AO＝CO，∴B1O⊥AC，
连结PB1，∵


∴
∴B1O⊥PO，
∴B1O⊥平面PAC。
11．A