高中数学人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系教案

2.1.1 平面

【教学目标】

1.使学生掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系，有关平面的三个公理，

2.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系。

【教学重难点】

教学重点：三个公理的教学是重点。

教学难点：公理的理解与运用是难点。

【教学过程】

1．提问：在长方体中，顶点、棱所在的直线、侧面、底面之间的关系应该怎么说呢？

2．新课

（1）、生活中的平面

生活中的一些物体通常呈平面形，如课桌面、黑板面、海面都是平面，几何里说

的平面（plane）是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面限延展的。

（2）、平面的画法与表示法

常常把水平的平面画成一个平行四边形，锐角通常画成45°，且横边等于其邻边长的2倍

　　平面表示：平面通常用α、β、γ写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β、平面γ，也可以用平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母来表示，如平面ABCD，或平面AC或平面BD。

　　如果一个平面被另一个平面遮住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如右图。

　　平面内有无数个点，平面可以看成是点的集合，点P在平面α内，记作P∈α，点Q在平面α外，记作Qα。

（3）、公理1

公理1　如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

此公理可以判断直线是否在平面内。

点动成线、线动成面。直线、平面都可以看成点的集合。点P在直线l上，记作P∈l，点P在直线l外，记作Pl。如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，记作lα；否则，就说直线l在平面α外，记作lα。

　　公理1也可以表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈αlα

（4）、公理2

三脚架可以声支撑照相机或测量用的平板仪或电子琴，自行车前后轮胎及支架。

公理2　过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（补充3个推论）：

推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

（5）、公理3

公理3　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

P∈α∩βα∩β＝l，且P∈l

例1、用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。

解析：结合元素与集合间的关系表示点线面间的关系

解：左边的图中，

α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。

右边的图中，

α∩β＝l，aα，bβ，

a∩l=P，b∩l=P。

    点评：结合元素与集合间的关系表示点线面间的关系

变式1：用符号表示下列语句

（1）             点A在平面α内，点B在平面α外     (A∈α, Bα)

（2）             直线l经过平面α外的一点M     ( Mα, M∈l)

例2 不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？

解析：结合实物做出解答

解：不共面的四点可以确定4个平面（如三棱锥）

共点的三条直线可以确定1个或3个平面

点评：发展学生思维

变式2：判断正误

1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（√）

2.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（√）

【板书设计】

一、平面的三个公理

二、例题

例1

变式1

例2

变式2

   【作业布置】 教材P52　1、2

2.1.1 平面

课前预习学案

一.预习目标：点线面间的关系、符号表示  

二.预习内容：2.1.1课本内容思考：在长方体中，顶点、棱所在的直线、侧面、底面之间的关系应该怎么说呢？

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一．学习目标：应用公理及推论判断点线面间的关系

二．学习过程

1.点线面 的位置关系及符号表示

2.平面的画法与表示法

3．公理1　如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2　过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（补充3个推论）：

公理3　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共

例1、             用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。

变式1：用符号表示下列语句

（1）             点A在平面α内，点B在平面α外     (A∈α, Bα)

（2）直线l经过平面α外的一点M     ( Mα, M∈l)

例2 不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？

变式2：判断正误

1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（√）

2.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（√）

课后练习与提高

一．选择题

1.       空间中ABCDE五点中，ABCD在同一平面内，BCDE在同一平面内，那么这五点（）

A共面   B不一定共面C不共面D以上都不对

2.       若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c的位置关系是（）

A相交、平行或异面   B相交或平行C异面D平行或异面

3.空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点是PQR，PQ=3，QR=4，PR=5，那么异面直线AC、BD所成的角是（） A900    B600    C450     D300

二．填空题

4.在空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD,AC⊥BD,则四边形EFGH为________

5.直线a、b不在平面α内，a、b在平面α内的射影是两条平行线，则a、b的位置关系是______

三．解答题

6. 完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec

求证：BD和AE是异面直线

证明：假设__ 共面于，则点A、E、B、D都在平面__内

    Aa，Da，∴__γ.   Pa，∴P__.

Pb，Bb，Pc，Ec  ∴__，__，这与____矛盾  ∴BD、AE__________

参考答案

1B  2A  3A  4正方形  5平行或异面

6. 答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面  内

∵Aa，Da，∴ a .     ∵Pa，P  .

∵Pb，Bb，Pc，Ec.  ∴ b ，c ，这与a、b、c不共面矛盾

∴BD、AE是异面直线翰林