高中数学人教版新课标A必修2第一章 空间几何体综合与测试教学设计

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【教学目标】掌握空间元素的垂直关系的判定方法与性质定理，并能运用这些知识解决与垂直有关的问题。
【教学重点】空间线线、线面、面面垂直关系的相互转化是重点。
【教学难点】线面垂直关系、线线垂直关系的判定。
【教学过程】
一.课前预习
1．（05天津）设为平面，为直线，则的一个充分条件是 ( )。
(A) (B)
(C) (D)
2．（05浙江）设、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么（ ）。
(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题
(C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题
3．（05重庆）对于不重合的两个平面与，给定下列条件：
①存在平面，使得、都垂直于； ②存在平面，使得、都平行于；
③内有不共线的三点到的距离相等；
④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，
其中，可以判定与平行的条件有（ ）。
A．1个, B．2个, C．3个, D．4个
4．如图，三棱锥S-ABC的底面是等腰直角三角形ABC，∠ACB=90º，S在以AB为直径的半圆上移动，当半平面与底面垂直时，对于棱SC而言下列结论正确的是（ ）
A有最大值，无最小值； B有最小值，无最大值；
C无最大值，也无最小值； D是一个定值
5．正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为自变量x,则相邻两侧面所成二面角的余弦值f(x)与x之间的函数解析式是（ ）
A. B C. D.
6．设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，那么下列条件中，能保证“xz,且yz,则x∥y”为真命题的是___________（填上所有正确的代号）。
(1)x为直线，y,z为平面；(2)x,y,z均为平面；(3)x,y为直线，z为平面；
(4)x,y为平面，z为直线；(5)x,y,z均为直线。
二.梳理知识
直线与平面的垂直是联系直线与直线垂直，平面与平面垂直的纽带，更是求有关角，距离的重要方法。
重要判定定理
一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直(线面垂直判定定理)
平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这个平面互相垂直(面面垂直判定定理)
三垂线定理及其逆定理
三．典型例题选讲
例1．（05江西）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。 （1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为。
例2．（05浙江）如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
(Ⅰ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
(Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
例3.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点。
（1）求证：PB//平面EAC； （2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）若AD=AB，试求二面角A－PC－D的正切值；
（4）当为何值时，PB⊥AC ？
备用题
例．（05湖北）如图，在四棱锥P—ABC右，底面ABCD为
矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到
P
E
D
C
B
A
AB和AP的距离。
参考答案
课前预习: 1D 2 D 3 B 4D 5 C 6①③④
三．典型例题选讲
例1、解法（一）
（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，
故
（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，
∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角. 设AE=x，则BE=2－x
解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），
从而， ，
设平面ACD1的法向量为，则
也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为
（3）设平面D1EC的法向量，∴
由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，∴
依题意 ∴（不合，舍去）， . ∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为。
例2．解：方法一：
(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点，
，
(Ⅱ)，
又， PA与平面PBC所成的角的大小等于，
（Ⅲ）由(Ⅱ)知，，∴F是O在平面PBC内的射影
∵D是PC的中点，若点F是的重心，则B，F，D三点共线，
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，
，即反之，当时，三棱锥为正三棱锥，∴O在平面PBC内的射影为的重心
方法二： ，，
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）
设则，
设，则
(Ⅰ)D为PC的中点，，
又，
(Ⅱ)，即，
可求得平面PBC的法向量，，
设PA与平面PBC所成的角为，则，
（Ⅲ）的重心，，
，
又，
，即，反之，当时，三棱锥为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为的重心。
例3.（1）证明：连DB，设，则在矩形ABCD中，O为BD中点。
连EO。因为E为DP中点，所以，。
又因为平面EAC，平面EAC，所以，PB//平面EAC。
（2）
正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，，
又，所以，AE⊥平面PCD。
（3）在PC上取点M使得。
由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以
所以，在等腰直角三角形DPC中，，
连接，因为AE⊥平面PCD，所以，。
所以，为二面角A－PC－D的平面角。
在中，。
即二面角A－PC－D的正切值为。
（4）设N为AD中点，连接PN，则。
又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD。
所以，NB为PB在面ABCD上的射影。要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC
在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x则，
解之得：。所以，当时，PB⊥AC。
证法二：（按解法一相应步骤给分）
设N为AD中点，Q为BC中点，则因为PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，，，又因为侧面PAD⊥底面ABCD，所以，，，
以N为坐标原点，NA、NQ、NP所在直线分别为轴如图建立空间直角坐标系。设，，则，，，，，。
（2），，，
，所以，。
又，，所以，AE⊥平面PCD。
（3）当时，由（2）可知：是平面PDC的法向量；
设平面PAC的法向量为，则，，即
，取，可得：。所以，。
向量与所成角的余弦值为：。所以，。
又由图可知，二面角A－PC－D的平面角为锐角，所以，二面角A－PC－D的平面角就是向量与所成角的补角。其正切值等于。
（4），，令，得，所以，。
所以，当时，PB⊥AC。
备用题
解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0）， B（，0，0）， C（，1，0）， D（0，1，0）， P（0，0，2）， E（0，，2），从而=（，1，0），=（，0，-2），设与的夹角为，则 ，∴AC与PB所成角的余弦值为
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），
则， 由NE⊥面PAC可得：
即化简得
即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，
解法二：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角
在ΔAOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，∴，
即AC与PB所成角的余弦值为，
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则
连PF，则在RtΔADF中DF=
设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC从而NE⊥面PAC
∴N点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=。