高中数学：1.2.2《函数的表达法》函数的几种表示方法 教学案（新人教A版必修1）

1.2.2  函数的表示方法

第一课时  函数的几种表示方法

【教学目标】

1．掌握函数的三种主要表示方法

2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系

3．会画简单函数的图像

【教学重难点】

教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数

【教学过程】

一、复习引入：

1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？

2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？

3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？

二、讲解新课：函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.

⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

例如，s=60，A=，S=2,y=a+bx+c(a0),y=(x2)等等都是用解析式表示函数关系的.

优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.

⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

例如，学生的身高                          单位：厘米

数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表

优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.

⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.

优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.

三、例题讲解

例1某种笔记本每个5元，买 x{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像

解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为

y=5x，x{1,2,3,4}.

它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示

变式练习1 设 求f[g(x)]。

         解：  ∴

                  ∴

             ∴

例2作出函数的图象

列表描点：

变式练习2  画出函数y=∣x∣与函数y=∣x－2∣的图象

四、小结  本节课学习了以下内容：函数的表示方法及图像的作法

【板书设计】

一、  函数的表示方法

二、         典型例题

例1：                           例2：

小结：

【作业布置】

课本第56习题2.2：1，2，3，4

1.2.2  函数的表示方法

第一课时  函数的几种表示方法

一 、 预习目标

    通过预习理解函数的表示

二  、预习内容

    1.列表法：通过列出        与对应            的表来表示            的方法叫做列表法

2.图象法：以        为横坐标，对应的       为纵坐标的点        的集合，叫做函数y=f（x）的图象，这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法.

3.解析法（公式法）：用        来表达函数y=f（x）（xA）中的f（x），这种表达函数的方法叫解析法，也称公式法。

4.分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着                  ，这样的函数通常叫做           。

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一  、学习目标

1．掌握函数的三种主要表示方法

2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系

3．会画简单函数的图像

学习重难点：图像法、列表法、解析法表示函数

二 、 学习过程

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.

⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

例如，s=60，A=，S=2,y=a+bx+c(a0),y=(x2)等等都是用解析式表示函数关系的.

优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.

⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

例如，学生的身高                          单位：厘米

数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表

优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.

⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.

优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.

三、例题讲解

例1某种笔记本每个5元，买 x{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像

变式练习1 设 求f[g(x)]。

例2作出函数的图象

变式练习2  画出函数y=∣x∣与函数y=∣x－2∣的图象

三  、当堂检测

课本第56页练习1，2，3

课后练习与提高

1.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线y＝f(x)(实线表示),另一种是平均价格曲线y＝g(x)(虚线表示)〔如f(2)＝3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元;g(2)＝3表示两个小时内的平均价格为3元〕,下图给出的四个图象中,其中可能正确的是(    )

2.函数f(x+1)为偶函数,且x＜1时,f(x)＝x2+1,则x＞1时,f(x)的解析式为(    )

A.f(x)＝x2-4x+4                                             B.f(x)＝x2-4x+5

C.f(x)＝x2-4x-5                                              D.f(x)＝x2+4x+5

3.函数的图象的大致形状是(    )

4.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的的长为l,弦AP的长为d,则函数d＝f(l)的图象大致是(    )

5.用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗),要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的长与宽应分别为_________.

6.已知定义域为R的函数f(x)满足f［f(x)-x2+x］＝f(x)-x2+x.

(1)若f(2)＝3,求f(1);又若f(0)＝a,求f(a);

(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)＝x0,求函数f(x)的解析表达式.

解答：

1  解析:解答该题要注意平均变化率是一个累积平均效应,因此可以得到正确选项为C.

答案:C

2  解析:因为f(x+1)为偶函数,

所以f(-x+1)＝f(x+1),即f(x)＝f(2-x).

当x＞1时,2-x＜1,此时,f(2-x)＝(2-x)2+1,即f(x)＝x2-4x+5.

答案:B

3  解析:该函数为一个分段函数,即为当x＞0时函数f(x)＝ax的图象单调递增;当x＜0时,函数f(x)＝-ax的图象单调递减.故选B.

答案:B

4  解析:函数在［0,π］上的解析式为

.

在［π,2π］上的解析式为,

故函数d＝f(l)的解析式为,l∈［0,2π］.

答案:C

5  解析:由题意可知,即是求窗户面积最大时的长与宽,设长为xm,则宽为()m,

∴

解得当x＝3时,.

∴长为3m,宽为1.5m.

答案:3m,1.5m

6  解:(1)因为对任意x∈R,

有f［f(x)-x2+x］＝f(x)-x2+x,

所以f［f(2)-22+2］＝f(2)-22+2.

又由f(2)＝3,得f(3-22+2)＝3-22+2,即f(1)＝1.

若f(0)＝a,则f(a-02+0)＝a-02+0,即f(a)＝a

(2)因为对任意x∈R,有f［f(x)-x2+x］＝f(x)-x2+x,

又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)＝x0,

所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x＝x0.

在上式中令x＝x0,有f(x0)-x02+x0＝x0,

又因为f(x0)＝x0,所以x0-x02＝0.

故x0＝0或x0＝1.

若x0＝0,则f(x)-x2+x＝0,即f(x)＝x2-x.

但方程x2-x＝x有两个不同实根,与题设条件矛盾,

故x0≠0.

若x0＝1,则有f(x)-x2+x＝1,即f(x)＝x2-x+1.

易验证该函数满足题设条件.

综上,所求函数为f(x)＝x2-x+1(x∈R).