2013-2014学年高一数学 第一章 1.2.1《函数的概念》第2课时目标导学 新人教A版必修1学案

第2课时　函数的定义域与值域

问题导学

一、求函数的定义域

活动与探究1

求下列函数的定义域：

(1)y＝－；

(2)y＝.

迁移与应用

求下列函数的定义域：

(1)y＝·；(2)y＝；

(3)y＝x0＋.

已知函数解析式求定义域时，就是使函数式有意义列出不等式(组)，再解不等式(组)即得定义域．

活动与探究2

(1)已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f (2x＋1)的定义域．

(2)已知函数f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f(x)的定义域．

迁移与应用

1．已知函数y＝f(x)的定义域是(－1,3]，则函数y＝f(2x－1)的定义域是__________．

2．已知函数y＝f(x2＋1)的定义域是[－2,3)，求函数y＝f(x)的定义域．

因为f(g(x))就是用g(x)代替了f(x)中的x，所以g(x)的取值范围与f(x)中的x的取值范围相同．若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g (x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围；而已知f(g(x))的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f(x)的定义域，就是求x∈[a，b]时g(x)的值域．

二、求函数的值或值域

活动与探究3

已知函数f(x)＝3x2－x＋1.

(1)求f(1)，f(－2)，f(a)，f(a＋1)的值；

(2)若f(x)＝1，求x的值．

迁移与应用

1．设函数f(x)＝2x－1，g(x)＝3x＋2，则f(2)＝__________，g(2)＝__________，f(g(2))＝__________.

2．已知函数f(x)＝x2－1，求f(2x＋1)，f(x－2)．

求函数值，就是用所给的值代替函数式中的所有自变量x，再化简．求f(g(x))就用g(x)代替f(x)中的所有x，再对所得代数式进行化简．

活动与探究4

已知函数f(x)＝x2＋2x－3.

(1)当x∈{－2，－1,0,1,3}时，求f(x)的值域；

(2)当x∈R时，求f(x)的值域．

迁移与应用

1．(1)函数y＝－x2－2x＋2的值域是__________；

(2)函数y＝＋2的值域是__________；

(3)函数y＝的定义域是__________，值域是__________．

2．求下列函数的值域：

(1)y＝2x－1，x≤－1；

(2)y＝2x2＋x－1，x∈{－3,1,2}．

求函数的值域时，要先确定函数的定义域，再根据函数式在定义域内求出函数值的范围．

当堂检测

1．已知函数f(x)＝，则f(2)等于(　　)

A．3　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0

2．函数f(x)＝x＋的定义域是(　　)

A．[2，＋∞)      B．(2，＋∞)

C． (－∞，2]      D．(－∞，2)

3．函数f(x)＝x＋1，x∈{－1,1,2}的值域是(　　)

A．{0,2,3}      B．[0,3]      C．[0,3)      D．[1,3)

4．已知函数f(3x－2)的定义域是[－2,0)，则函数f(x)的定义域是__________；若函数f(x)的定义域是(－2,4]，则f(－2x＋2)的定义域是__________．

5．已知函数f(x)＝x2－x＋1，则f(x＋1)＝__________，f(f(2))＝__________.

答案：

课前预习导学

【预习导引】

1．自变量取值　函数值　子集

2．(1)实数集R　(2)分母不为0　(3)根号内的式子大于或等于0　(4)各部分式子都有意义　(5)集合　区间

预习交流1　[3,4]　解析：由题可得⇒3≤x≤4.故所求函数的定义域用区间表示为[3,4]．

3．定义域　对应关系

预习交流2　提示：求函数的值域时，一定要在函数的定义域内求解．

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1　思路分析：两式均为分式与二次根式的形式，则可根据分式中分母不为0，偶次根式被开方数大于等于零来求解．

解：(1)要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足

解得x≤1且x≠－1，

即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．

(2)要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足

解得x≤5且x≠±3，

即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．

迁移与应用　解：(1)要使函数式有意义，则∴x≥2.

∴函数的定义域为{x|x≥2}．

(2)要使函数式有意义，则有

∴x≥－1且x≠2.

∴函数的定义域为{x|x≥－1，且x≠2}．

(3)要使函数式有意义，则

即x≥－4且x≠0.

∴函数的定义域为{x|x≥－4，且x≠0}．

活动与探究2　思路分析：在对应关系相同的情况下，f(x)中x应与f(g(x))中g(x)的取值范围相同，据此可解答该题．

解：(1)由已知f(x)的定义域是[－1,4]，即－1≤x≤4.

故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4.

∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤.

∴f(2x＋1)的定义域是.

(2)由已知f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，

即f(2x＋1)中，应有－1≤x≤4，

∴－1≤2x＋1≤9.

∴f(x)的定义域是[－1,9]．

迁移与应用　1．(0,2]　解析：由题意得－1＜2x－1≤3，∴0＜x≤2.

2．解：∵y＝f(x2＋1)的定义域是[－2,3)，

∴y＝f(x2＋1)中的x满足－2≤x＜3，

∴0≤x2＜9，∴1≤x2＋1＜10.

∴函数y＝f(x)的定义域是[1,10)．

活动与探究3　思路分析：(1)求函数的值，只需将x用所给值代换即可；对于(2)只需令3x2－x＋1＝1，可解x.

解：(1)f(1)＝3×12－1＋1＝3；

f(－2)＝3×(－2)2－(－2)＋1＝15；

f(a)＝3a2－a＋1；f(a＋1)＝3(a＋1)2－(a＋1)＋1＝3a2＋5a＋3；

(2)∵f(x)＝1，∴3x2－x＋1＝1，即3x2－x＝0.

∴x＝0或x＝.

迁移与应用　1．3　8　15

2．解：∵f(x)＝x2－1，

∴f(2x＋1)＝(2x＋1)2－1＝4x2＋4x；

f(x－2)＝(x－2)2－1＝x2－4x＋3.

活动与探究4　思路分析：函数值域是由定义域与对应关系确定的，因此，只要根据对应关系求出所有函数值即可．

解：(1)f(－2)＝－3，f(－1)＝－4，f(0)＝－3，f(1)＝0，f(3)＝12.

∴当x∈{－2，－1,0,1,3}时，f(x)的值域是{－3，－4，0,12}．

(2)∵f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，x∈R，

∴f(x)≥－4.

∴当x∈R时，f(x)的值域为[－4，＋∞)．

迁移与应用　1．(1)(－∞，3]　(2)[2，＋∞)

(3)[－1，＋∞)　[0，＋∞)

2．解：(1)∵x≤－1，∴2x≤－2.

∴2x－1≤－2－1＝－3.

∴函数y＝2x－1，x≤－1的值域是(－∞，－3]；

(2)当x＝－3时，y＝14；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝9.∴函数y＝2x2＋x－1，x∈{－3,1,2}的值域是{2,9,14}．

【当堂检测】

1．A　解析：f(2)＝＝3，故选A.

2．C　解析：要使函数式有意义，则2－x≥0，即x≤2.所以函数的定义域为(－∞，2]．

3．A　解析：x＝－1时，f(－1)＝0；x＝1时，f(1)＝2；x＝2时，f(2)＝3.所以函数f(x)的值域为{0,2,3}．

4．[－8，－2)　[－1,2)　解析：∵f(3x－2)的定义域是[－2,0)，

∴f(3x－2)中的x满足－2≤x＜0.

∴－8≤3x－2＜－2.

∴f(x)的定义域是[－8,2)．

∵f(x)的定义域是(－2,4]，∴－2＜x≤4.

∴f(－2x＋2)中，－2＜－2x＋2≤4，

即－1≤x＜2.

∴f(－2x＋2)的定义域是[－1,2)．

5．x2＋x＋1　7　解析：∵f(x)＝x2－x＋1，

∴f(x＋1)＝(x＋1)2－(x＋1)＋1＝x2＋2x＋1－x－1＋1＝x2＋x＋1.∵f(2)＝22－2＋1＝3，

∴f(f(2))＝f(3)＝32－3＋1＝7.