高中数学人教版新课标A必修11.2.2函数的表示法学案

数学人教A必修1第一章1．2.1　函数的概念

1．能够用集合与对应的语言给出函数的定义；知道构成函数的要素，清楚函数的定义中“任意一个数x ”和“唯一确定的数f(x)”的含义；明确符号“f(x)”表示的意义．

2．会判断两个函数是否相等；会求简单函数的函数值和定义域．

1．函数的概念

设A，B是非空的______，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的________数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，xA.其中x叫做________，x的取值范围A叫做函数y＝f(x)的________；与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数y＝f(x)的________，则值域是集合B的________．

(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．

(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．

2．常见函数的定义域和值域

有时给出的函数没有明确说明其定义域，这时，它的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值范围．例如函数y＝的定义域为[0，＋)，函数y＝的定义域为(－，－1)(－1，＋)．

【做一做1－1】 函数y＝f(x)的定义域为P，值域为Q，对于mP，与m对应的函数值为n，则有(　　)．

A．nP           B．m＝n           C．nPQ             D．n唯一

【做一做1－2】 函数y＝5－2x的定义域是(　　)．

A．R            B．Q               C．N                  D．

【做一做1－3】 函数y＝2x2－x的值域是__________．

3．区间与无穷大

(1)区间的概念．

设a，b是两个实数，且a＜b.

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．

并不是所有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．

(2)无穷大．

“”读作“无穷大”，“－ ”读作“负无穷大”，“＋ ”读作“正无穷大”，满足x≥a，x＞a，x≤a，x＜a的实数x的集合可用区间表示，如下表．

【做一做2－1】 集合{x|x≥1}用区间表示为(　　)．

A．(－，1)                     B．(－，1]

C．(1，＋)                     D．[1，＋)

【做一做2－2】 区间[5,8)表示的集合是(　　)．

A．{x|x≤5，或x＞8}                   B．{x|5＜x≤8}

C．{x|5≤x＜8}                        D．{x|5≤x≤8}

4．函数相等

一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由________和________决定的．如果两个函数的定义域相同，并且________完全一致，我们就称这两个函数相等．

【做一做3】函数y＝x－5与s＝t－5是否相等？

答案：1．数集　任意一个　唯一确定　自变量　定义域　函数值　值域　子集

2．R　x≠0　R　

【做一做1－1】 D

【做一做1－2】 A

【做一做1－3】 　函数y＝2x2－x是二次函数，其二次项系数大于零，则值域是.

3．(1)[a，b]　(a，b)　[a，b)　(a，b]　(2)[a，＋)　(a，＋)　(－，a]　(－，a)

【做一做2－1】 D

【做一做2－2】 C

4．定义域　对应关系　对应关系

【做一做3】 解：两个函数的定义域都是R，对应关系都是自变量减5，即它们的定义域相同，对应关系一致，故这两个函数相等．

函数符号f(x)的意义

剖析： (1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积．

(2)符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)相等；当m是常数时，f(m)表示当自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．

(3)符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．

例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；当x为某一代数式(或某一个函数)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5.

题型一  函数关系的判断

【例1】 下列式子能否确定y是x的函数？

(1)x2＋y2＝2；

(2)＋＝1；

(3)y＝＋.

分析：先将已知式子进行等价转换，化为用x表示y的形式，再利用函数的定义进行判断．

反思：(1)判断一个对应关系f：A→B是否是函数，要从以下三个方面去判断：①A，B必须是非空数集；②A中的任何一个元素在B中必须有元素与其对应；③A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．

(2)函数的定义中“任意一个数x”与“唯一确定的数f(x)”说明函数中两个变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．

题型二  求函数值

【例2】 已知f(x)＝(xR，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(xR)．

(1)求f(2)，g(2)的值；

(2)求f[g(3)]的值．

分析：(1)分别将f(x)与g(x)的表达式中的x换为2，计算得f(2)与g(2)；(2)先求g(3)的值m，再求f(m)的值．

反思：已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；已知g(x)的表达式时，先求g(a)的值m，再求f(m)的值即得f[g(a)]，即遵循由里往外的原则求f[g(a)]．

题型三  求函数的定义域

【例3】 求函数y＝－的定义域．

反思：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．

(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集)．

(5)对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．

题型四  判断函数相等

【例4】 判断下列各组函数是否是相等函数：

(1)f(x)＝x＋2，g(x)＝；

(2)f(x)＝(x－1)2，g(x)＝x－1；

(3)f(x)＝x2＋x＋1，g(t)＝t2＋t＋1.

分析：先求出定义域，根据定义域和表达式(即对应关系)来确定．

反思：判断两个函数f(x)和g(x)是否相等的方法是：先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再化简函数的表达式，如果化简后的函数表达式相同，那么它们相等，否则它们不相等．

题型五  易混易错题

易错点　求函数定义域时先化简函数关系式

【例5】 求函数y＝的定义域．

答案：【例1】 解：(1)由x2＋y2＝2，得y＝±.当x＝1时，对应的y值有两个，故y不是x的函数．

(2)由＋＝1，得y＝(1－)2＋1.

所以当x在{x|x≥1}中任取一个值时，都有唯一的y值与之对应，故y是x的函数．

(3)因为不等式组的解集是∅，即x取值的集合是，故y不是x的函数．

【例2】 解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.

又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.

(2)∵g(3)＝32＋2＝11，

∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.

【例3】 解：要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得x≤1，且x≠－1，

即函数的定义域是{x|x≤1，且x≠－1}．

【例4】 解：(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠2}．

由于定义域不同，故f(x)与g(x)不是相等函数．

(2)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，即定义域相同．

由于f(x)与g(x)的表达式不相同，

故f(x)与g(x)不是相等函数．

(3)两个函数的自变量所用字母不同，但其定义域和对应关系一致，故是相等函数．

【例5】 错解：要使函数y＝＝有意义，

则x≠－3.

故所求函数的定义域为{x|x≠－3}．

错因分析：约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x－2”，使原函数变形为y＝，从而改变了原函数的自变量x的取值范围，也就是说，函数y＝与函数y＝不相等．

正解：要使函数有意义，必须使(x－2)(x＋3)≠0，

即x－2≠0且x＋3≠0，解得x≠2且x≠－3，

故所求函数的定义域为{x|x≠2，且x≠－3}．

1函数y＝的定义域为(　　)．

A．{x|x≤1}                         B．{x|x≥0}

C．{x|x≥1，或x≤0}                 D．{x|0≤x≤1}

2下列式子中，y不是x的函数的是(　　)．

A．x＝y2＋1                       B．y＝2x2＋1

C．x－2y＝6                       D．x＝

3已知函数f(x)＝2x－1，则f[f(2)]＝__________.

4判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由．

(1)y＝x－1，xR与y＝x－1，xN；

(2)y＝与y＝；

(3)y＝1＋与y＝1＋.

5已知函数f(x)＝x2＋1，xR.

(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值．

(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．

答案：1． D　要使函数有意义需解得0≤x≤1.

2． A　选项B，C，D都满足一个x对应唯一的y，故y是x的函数．对于选项A，存在一个x对应两个y的情况，如x＝5时，y＝±2.故y不是x的函数．

3． 5　∵f(2)＝2×2－1＝3，

∴f[f(2)]＝f(3)＝3×2－1＝5.

4．解：(1)前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不相等．

(2)前者的定义域是R，后者的定义域是{x|x≥0}，它们的定义域不同，故不相等．

(3)两个函数的定义域相同(均为非零实数)，对应关系相同(都是自变量取倒数后加1)，故相等．

5．解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；

f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；

f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.

(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：

由题意，得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．

故对任意xR，总有f(x)＝f(－x)．