高中数学人教版新课标A必修2第四章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系导学案

4. 2.1　直线与圆的位置关系

【教学目标】

１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．

２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．

３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．

【教学重难点】

教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．

教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．

【教学过程】

㈠情景导入、展示目标

问题：

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下.

㈡检查预习、交流展示

1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？

2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？

㈢合作探究、精讲精练

    探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？

教师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问题中如何建立直角坐标系？

学生：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为

轮船航线所在直线 l 的方程为

.

教师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系.

让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。教师对学生在知识上进行适当的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究.

    由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法：

    方法一：代数法

    由直线与圆的方程，得：     消去y，得

因为

所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。

    方法二：几何法

    圆心（0，0）到直线的距离

所以，直线与圆相离，航线不受台风影响.

探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？

    让学生通过实际问题的解决，对比总结，掌握方法.

    ①代数法：

由方程组，

得，

,则方程组有两解,直线与圆相交；，则方程组有一解，直线与圆相切；，则方程组无解，直线与圆相离.

②几何法：

直线与圆相交 ,则；直线与圆相切 ,则；直线与圆相离 ,则.

例1　已知直线l：x＋y－5=0和圆Ｃ：，判断直线和圆的位置关系.

    解析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.

解:(法一)

联立方程组,消y得

因为

所以直线与圆相交.

(法二)

将圆的方程化为.

可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5.

因为圆心到直线的距离d=<5,

所以直线与圆相交.

点评:巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法.

变式1.判断直线x－y＋5=0和圆Ｃ：的位置关系.

解:将圆的方程化为.

可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5.

因为圆心到直线的距离d=>5,

所以直线与圆相离.

例2．求直线l：3x-y-6=0被圆Ｃ：截得的弦ＡＢ的长．

解析:可以引导学生画图分析几何性质.

解:(法一)

将圆的方程化为.

可得圆心Ｃ(1,2),半径r=.

圆心到直线的距离

.

弦ＡＢ的长.

(法二)

联立方程组,消y得

    得,

则,

所以直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长

.

(法三)

联立方程组,消y得

根据一元二次方程根与系数的关系,有

直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长

点评:强调图形在解题中的辅助作用,加强了形与数的结合.

    ㈣反馈测试

导学案当堂检测

　　㈤总结反思、共同提高

【板书设计】

一．直线与圆的位置关系

    (1)相交，两个交点；

(2)相切，一个交点；

(3)相离，无交点.

二.实例的解决

方法一

方法二

三.判断直线与圆位置关系的方法

四.例题

例1

变式1

例2

   【作业布置】

    导学案课后练习与提高

4.2.1　直线与圆的位置关系学案

课前预习学案

一．预习目标

回忆直线与圆的位置关系有几种及几何特征，初步了解用方程判断直线与圆的位置关系的方法．

二．预习内容

1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？

2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？

           提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

课内探究学案

    一．学习目标

１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．

２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．

３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．

学习重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．

学习难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．

二．学习过程

问题：

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？

1. 如何建立直角坐标系？

2. 根据直角坐标系写出直线和圆的方程.

3.怎样用方程判断他们的位置关系?

探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？

例1　已知直线l：x＋y－5=0和圆Ｃ：，判断直线和圆的位置关系.

变式１.判断直线x－y＋5=0和圆Ｃ：的位置关系.

例2．求直线l：3x-y-6=0被圆Ｃ：截得的弦ＡＢ的长．

三．反思总结

四．当堂检测

　　1．已知直线与圆相切，则的值为（   ）

  　　 A．8       B．-18        C．－18或8        D．不存在

　　2．设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平　分线方程是          .

     3．求经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y= -2x上的圆的方程．

参考答案:1.Ｃ　2．

3．解：设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2

　　由题意则有

　　解得a=1，b=-2，r=，故所求圆的方程为

　　　　　（x-1）2+（y+2）2=2.

课后练习与提高

　1．直线与圆没有公共点，则的取值范围是（      ）

A．　 B．　 C．  D．

  2.圆在点处的切线方程为

   A、   B、  C、  D、

　3．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是   (      )

A.[]         B.[]          C.[          D.

  4．设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则________    ____．

  5．已知圆和直线. 若圆与直线没有公 共点，则的取值范围是                   .

  6．已知圆，定点P(4，0)，问过P点的直线斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆(1)相切？(2)相交？(3)相离？