高中数学3.2 直线的方程导学案

3.2.3 直线的一般式方程

【教学目标】

（1）明确直线方程一般式的形式特征；

（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；

（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

【教学重难点】

重点：直线方程的一般式。

难点：对直线方程一般式的理解与应用。

【教学过程】

（一）情景导入、展示目标。

1.直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.

点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标，和直线的斜率k，则直线的方程是

斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的截距b则直线方程是

两点式：已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）则直线的方程是：

截距式：已知直线在X轴Y轴上的截距为a，b，

则直线的方程是

2.直线的方程都可以写成关于的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线？

提示：讨论直线的斜率是否存在。

直线l经过点P0（x0，y0），斜率为k，则直线的方程为：①

当直线l的倾斜角为90°时，直线的方程为x－x0＝0　②

 (二)预习检查、总结疑惑

任意一个二元一次方程：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）是否表示一条直线？

当B≠0时，上述方程可变形为：

它表示过点（0，）斜率为的直线。

当B＝0时，是一条平行于y轴的直线。由上述可知，关于x，y的二元一次方程，它表示一条直线。

我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）。

（三）合作探究、精讲点拨。

探究一：方程Ax＋By＋C＝0中，A，B，C为何值时，方程表示直线：（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合。

探究二：直线与二元一次方程具有什么样的关系？

答: 直线与二元一次方程是一对多的对应,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程

探究三：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？

直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与轴垂直的直线。

例1.已知直线经过点,斜率为,求直线的点斜式和一般式方程.

分析：直接用点斜式写出，然后化简。

解：所求的直线方程为：

y＋4＝－（x－6），化为一般式：　4x＋3y－12＝0。

点评：对刚学的知识进行检验。

变式：

求经过A（3，-2）B（5，-4）的直线方程，化为一般式。

例2、把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它

在x轴与y轴上的截距，并画出图形。

分析：对式子变形，考察对截距的理解。

解：将直线l的一般式方程化成斜截式：

y＝x＋3

因此，直线的斜率为k＝，它在y轴上的截距为3。

在直线方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得

　x＝－6

过两点可以画一条直线，就是直线l 的图形。

直线与x轴、y轴的交点分别为A（－6,0），B（0,3）

直线在x轴上的截距为－6。

点评：考察对截距的理解，对式子进行变形，然后描点连续。

变式：已知直线经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程。

  ㈣反馈测试

导学案当堂检测

㈤总结反思、共同提高

【板书设计】

一．直线的一般式方程

    定义

    形式

二.探究问题

三、例题

例1

变式1

例2

变式爬黑板

   【作业布置】

    导学案课后练习与提高

3.2.3 直线的一般式方程

课前预习学案

一、              预习目标

通过预习同学们知道直线的方程都可以写成关于的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线？

二、              预习内容 

1.直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.

2.直线的方程都可以写成关于的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线？

提示：讨论直线的斜率是否存在。

3.任意一个二元一次方程：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）是否表示一条直线？

三、提出疑惑

课内探究学案

一、学习目标：

（1）明确直线方程一般式的形式特征；

（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；

（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

学习重点：直线方程的一般式。

学习难点：对直线方程一般式的理解与应用。

二、学习过程

探究一：方程Ax＋By＋C＝0中，A，B，C为何值时，方程表示直线：（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合。

探究二：直线与二元一次方程具有什么样的关系？

答:

探究三：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？

例1.已知直线经过点,斜率为,求直线的点斜式和一般式方程.

分析：直接用点斜式写出，然后化简。

解

变式：

求经过A（3，-2）B（5，-4）的直线方程，化为一般式。

例2、把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它

在x轴与y轴上的截距，并画出图形。

分析：对式子变形，考察对截距的理解。

变式：已知直线经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程。

反思总结

二元一次方程的每一组解都可以看与平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组的集合，就是坐标满足二元一次方程的体点的集合，这些点的集合组成了一条直线。平面直角坐标系就是把方程和曲线连起的桥梁。我们已经学习了直线的一般式方程，那么，直线方程之间的区别与联系是什么？关键是理解方程和直线之间的关系。

当堂检测

1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角为45度，则m的值是          （      ）

（A）3      （B） 2  （C）-2       （D）2与3

2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是________

答案B   -6

课后练习与提高

1.若直线通过第二、三、四象限，则系数A、B、C满足条件（ A   ）

(A)AB<0  C<0    (B)AC<0,BC>0    (C)C=0,AB<0    (D)A=0,BC<0

2. 直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（C  ）

     (A) A·B>0,A·C>0        (B) A·B>0,A·C<0

     (C) A·B<0,A·C>0        (D) A·B<0,A·C<0

3. 设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且│PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是(C  )

    A.2y-x-4=0  B.2x-y-1=0

    C.x+y-5=0   D.2x+y-7=0

4.若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值是-3/5，

则直线l的点斜式方程是___________

   直线l的斜截式方程是___________

   直线l的一般式方程是___________

5.已知直线l1：x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.

6.直线与直线没有公共点，求实数m的值。

答案ACC   4. 4x+3y+16=0   5提示利用A1A2+B1B2=0

6.方法（1）解：由题意知

方法（2）由已知，题设中两直线平行，当

当m=0时两直线方程分别为x+6=0,-2x=0,即x=-6,x=0,两直线也没有公共点，

综合以上知，当m=-1或m=0时两直线没有公共点。