数学必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质导学案

§2.3.1 直线与平面垂直的判定

学习目标

1. 理解直线与平面垂直的定义；

2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；

3. 理解直线与平面所成的角的概念，会求直线与平面所成的角.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P64~ P67，找出疑惑之处）

复习1：当两条直线的夹角为______，这两条直线互相垂直；它们的位置关系是_______或________.

复习2：如图10-1，直线，请你任意作出至少3条和垂直的直线，并感觉作出的直线中有和平面垂直的直线吗？

图10-1

二、新课导学

※ 探索新知

探究1：直线和平面垂直的概念

问题：如图10-2，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边落在桌面上，观察边与桌面的位置关系呈什么状态？绕着边转动三角板，边与始终垂直吗？在转动的过程中，把看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？

图10-2

新知1：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记做.叫做垂线，叫垂面，它们的交点叫垂足.如图10-3所示.

图10-3

反思：⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？

探究2：直线与平面垂直的判定定理

问题：如图10-4，将一块三角形纸片沿折痕折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(与桌面接触).观察折痕与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕与桌面垂直呢？

图10-4

结论：当且仅当折痕是边上的高时，所在的直线与桌面所在的平面垂直.如下图所示.

                 图10-5

反思：⑴折痕与桌面上的一条直线垂直时，能判断垂直于桌面吗?

⑵如图10-5，当折痕时，翻折后,即.由此你能得出什么结论?

新知2：直线和平面垂直的判定定理  一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

探究3：直线与平面所成的角

新知3：如图10-6，直线和平面相交但不垂直，叫做平面的斜线，和平面的交点叫斜足；，叫做斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.

图10-6

直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是°角.

※ 典型例题

例1 如图10-7，已知∥，，求证：.

图10-7

例2 如图10-8，在正方体中，求直线和平面

所成的角.

图10-8

※ 动手试试

练1. 如图10-9，在三棱锥中，，

求证：.

图10-9

练2. 如图10-10，在Rt中，斜边，其射影，°,求与平面

所成角的正弦值.

图10-10

三、总结提升

※ 学习小结

1. 直线与平面垂直的定义、判定；线线垂直与线面垂直的转化；

2. 直线与平面所成的角的定义及求法.

※ 知识拓展

求直线与平面所成的角关键是作出斜线上一点到平面的垂线，找到这点的射影—垂足的位置.确定点的射影位置的方法有①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上②一个点到一个角的两边距离相等，则这个点的射影在这个角的角平分线上③若两个面垂直，则一个面上的点在另一面上的射影必在两个平面的交线上.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 直线和平面内两条直线都垂直，则与平面的位置关系是（    ）.

 A.垂直  B.平行  C.相交但不垂直  D.都有可能

2. 已知直线和平面，下列错误的是（    ）.

 A.         B.

 C.∥或 D.∥

3. 是异面直线,那么经过的所有平面（    ）.

 A.只有一个平面与平行

 B.有无数个平面与平行

 C.只有一个平面与垂直

 D.有无数个平面与垂直

4. 两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是________________.

5. 若平面∥平面,直线,则与_____.

课后作业

1. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接、、，若，，

，则点在的什么位置？ 

2. 如图10-11，在正方体中，是底面的中心，，为垂足，求证：面.

图10-11