高中数学人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质学案设计

§2.3.4 直线、平面垂直的判定

及其性质（练习）

学习目标

1. 熟练掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质定理，能够灵活运用；

2. 掌握垂直关系中线线垂直、线面垂直、面面垂直的互化，掌握“平行”与“垂直”关系的相互转换；

3. 能求直线与平面所成的角及简单的二面角的平面角大小.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P64~ P72，找出疑惑之处）

复习1：直线与平面垂直的有关结论

⑴如果一条直线_____________________________

_______________，则这条直线和这个平面垂直；

⑵线面垂直的判定定理是_____________________

__________________________________________；

⑶两条平行线中的一条垂直于一个平面，则______

______________________________；

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则____

_______________________________________；

⑸面面垂直的性质定理是_____________________

___________________________________________.

复习2：平面与平面垂直的有关结论

⑴两个平面垂直的定义是_____________________

__________________________________________；

⑵两个面垂直的判定定理是___________________

__________________________________________.

复习3：⑴斜线和平面所成的角怎么作?直线和平面所成的角的范围是_____________；

⑵二面角的定义是怎样的？它的平面角又是怎么作的?

二、新课导学

※ 典型例题

例1 如图14-1所示，在正方体中，、Q、R、S分别为棱、、、的中点.

求证：平面

图14-1

小结：面面垂直通常转化为线面垂直(关键找到一个面内垂直于另一个面的线)，线面垂直又转化为线线垂直，线线垂直往往又用到线面垂直的定义.

例2 如图14-2所示，设、为异面直线，垂直于、，且与、分别交于、两点.

⑴为平面，若∥,∥,求证：；

⑵若，，，求证：∥

图14-（1）             图14-2（2）

小结：“平行”与“垂直”的转化；线面垂直的判定和性质定理的灵活运用.

例3 如图14-3，二面角的平面角是个锐角，点到、和棱的距离分别为、、

.

⑴分别求直线与面和面所成的角;

⑵求二面角的大小.

图14-3

※ 动手试试

练1. 在正方体中，求证：平面

平面.

练2. 如图14-4，，，，

，求证：，.

图14-4

三、总结提升

※ 学习小结

1. 垂直关系的证明：根据题设条件，合理、灵活的运用各种判定和性质定理，注意条件的转化；

2. 求线面角和二面角的关键是利用垂直关系，作出角，然后利用三角形的知识加以解决.

※ 知识拓展

   论证垂直问题要注意垂直关系的转化，每一种垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系为：

线线垂直        线面垂直           面面垂直

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. ，且∥，则直线和面是（    ）.

 A.      B.与相交或∥或

 C.      D.∥或

2. 过平面外一点：①存在无数条直线与平面平行②存在无数条直线与平面垂直③仅有一条直线与平面平行④仅有一条直线与平面垂直；其中正确结论的个数是（    ）.

 A.1个     B.2个      C.3个    D.4个

3. 下列说法错误的是（    ）.

 A.过一点和一个平面垂直的平面有无数个

 B.过一个平面的一条垂线的所有平面都与此平面垂直

 C.过一个平面的一条斜线的平面与此平面不垂直

D.二面角的任意一个平面角所在平面垂直于此二面角的两个面

4. 两个长方形所在平面互相垂

直，长宽如图所示，则

与的比值为________.

5. 正方体的棱

长为1，是的中点，则二面角的大小为________.

  课后作业

1. 如图14-5，，，

，求二面角大小.

图14-5

2. 为所在平面外一点，平面，平面平面.求证：.