2021学年2.3 直线、平面垂直的判定及其性质导学案

第11课时  直线与平面垂直(2)        

一、【学习导航】

知识网络

学习要求

1.了解直线和平面所成角的概念和范围;

2.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理.

【课堂互动】

自学评价

１.    斜线的定义:                       

斜足定义:                       

斜线段定义:                       

２．直线和平面所成角的定义：         

　　线面角的范围：                       

【精典范例】

例1：.如图，已知AC，AB分别是平面α的垂线和斜线，C，B分别是垂足和斜足，aα，求证：a⊥BC

证明：互助参考3６例3

例2.求证: 如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直, 那么这条直线就和这条直线在这个平面内的射影垂直.

已知：

求证：

证明：

证明：略

点评：

上述两题是三垂线定理及其逆定理，今后在证明其它问题时可直接使用。

例３.如图, ∠BAC在平面α内, 点Pα, ∠PAB=∠PAC . 求证: 点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.

证明：互助参考3６例４

思考：你能设计一个四个面都是直角的四面体吗?

思维点拨：

要证线面垂直，通常是从线线垂直来证明，而要证明线面垂直，通常又是从线线垂直来证明，即线线垂直和线面垂直互相转化．

自主训练

1.如图，∠BCA=90°，PC⊥面ABC，则在三角形ABC，三角形PAC的边所在的直线中：

(1)与PC垂直的直线有AC,AB,BC

(2)与AP垂直的直线有BC　

2.若直线a与平面α不垂直，那么在平面内α与直线a垂直的直线 (B  )

A.只有一条　

B.有无数条

C.是平面α内的所有直线

D.不存在

3.从平面外一点向平面引斜线段，如果斜线段长相等，那么它们在平面内的射影相等吗？

答：相等

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Ｐ为DD１的中点，O为底面ABCD的中心，

求证：B１O⊥平面PAC

点拨：使B１O垂直与平面ABC内的两条相交直线．

【学习延伸】

Ｒt△ABC的斜边ＢＣ在平面Ｍ内，两直角边和平面Ｍ所成的角分别是４５°和３０°，求斜边的高ＡＤ和平面Ｍ所成的角

答：ＡＤ和平面Ｍ所成的角60°

总结：要求斜线AD与平面M所成的角，找出斜线ＡＤ在平面Ｍ内的射影是关键．

解题步骤：①作，②证，③求。

自主训练

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

①     求ＡＤ１与平面ABCD所成的角，

②    求ＡＤ１与平面A1D1CB所成的角

(1) 45°

(2) 30°