高中数学人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质导学案

2.3.3直线与平面垂直的性质

【教学目标】

（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.

（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.

【教学重难点】

重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。

难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。

【教学过程】

（一） 复习引入

师：判断直线和平面垂直的方法有几种？

师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？

师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？

判断下列命题是否正确：

1、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

2、     在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

3、     垂直于同一平面的两直线互相平行。

4、     垂直于同一直线的两平面互相平行。

师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？

（二） 创设情景

如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？

（三）讲解新课

例1   已知：a，b。求证：b∥a

师：此问题是在a，b的条件下，研究a和b是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难。而利用反证法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b’的作出,这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知道下,学生尝试证明,稍后教师指正.

生:证明:假定b不平行于a,设, b’是经过点O的两直线a平行的直线.

∥b’, a, b’

即经过同一点O的两直线b ,b’都与垂直,这是不可能的,因此b∥a.

有了上述证明,师生可共同得到结论.:

直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.

利用三种形式去描述它

下列命题中错误的是（C）

A、  若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。

B、                  若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

C、                  若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面

D、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。

（四）课堂检测

课本页：1、2.

拓展练习：设直线a,b分别在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,

欲使b∥a,a、b应满足什么条件？

分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a、b满足的条件。

解：a、b满足下面条件中的任何一个，都能使b∥a

（１）a、b同垂直于正方体的一个面

（２）a、b分别在正方体两个相对的面内且共面。

（３）a、b平行于同一条棱。

（４）Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为B′C′、ＣC′、ＡA′、ＡＤ的中点，

ＥＦ所在直线为a，ＧＨ所在直线为b，等等。

（五）课堂小结

本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法。直接证法长依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法。关于直线与平面垂直的性质定理的证明，教材采用反证法，学生理解上会有一定的困难，教学时应注意引导学生理解反证法的反设、归谬，进而得到要证的结论。

【板书设计】

一、直线和平面垂直的性质定理及其推论

二、例题

例1

例2

   【作业布置】

    导学案课后练习与提高

2.3.3直线与平面垂直的性质

课前预习学案

一、预习目标：通过对图形的观察，知道直线于平面垂直的性质

二、预习内容：

1、直线与平面垂直的判定方法有哪些？

2、在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？

3、判断题（判断下列命题是否正确）

（1）、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

（2）、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

（3）、垂直于同一平面的两直线互相平行。

（4）、垂直于同一直线的两平面互相平行。

4、若直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？

三、         提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习目标：

（1）明确直线与平面垂直的性质定理。

（2）利用直线与平面垂直的性质定理解决问题。

学习重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。

学习难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。

二、学习过程

探究一、直线与平面垂直的性质

1、   如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？

2、 已知：a，b。求证：b∥a（由1让学生自行证明）

得直线与平面垂直的性质定理

三种语言刻画

探究二、定理的应用

例1已知

变式1：

下列命题中错误的是（）

A、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。

B、若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

C、若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面

D、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。（四）课堂检测

1、课本页：1、2.

2、设直线a,b分别在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,

欲使b∥a,a、b应满足什么条件？

课后巩固练习与提高

1．若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是   （  ）

2．已知与是两条不同的直线，若直线平面，①若直线，则；②若，则；③若，则；④，则。上述判断正确的是               （   ）

①②③    ②③④   ①③④   ②④

3．下列关于直线与平面的命题中，真命题是              （     ）

若且，则    若且，则

若且，则     且，则  

4．在直四棱柱中，当底面四边形满足条件           时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

5.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：

①若，，则是的垂心

②若两两互相垂直，则是的垂心

③若，是的中点，则

④若，则是的外心

其中正确命题的命题是             

6如图，直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，

求证：平面

参考答案

12345①②③④

6证明：连结，∵∴，在直三棱柱中

，∴平面，∵，

∴，∴，∵是侧面的两条对角

线的交点，∴是与的中点，∴，连结

，取的中点，连结，则，

∵平面，∴平面，∴是在

平面内的射影。在中，

在中，，∴

∴，∴，∴平面