高中数学人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系学案

§2.1.2空间直线与直线之间的位置关系

学习目标

1. 正确理解异面直线的定义；

2. 会判断空间两条直线的位置关系；

3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；

4. 会求异面直线所成角的大小.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P44~ P47，找出疑惑之处）

复习1：平面的特点是______、 _______ 、_______.

复习2：平面性质(三公理)

公理1___________________________________；

公理2___________________________________；

公理3___________________________________.

二、新课导学

※ 探索新知

探究1：异面直线及直线间的位置关系

问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?

观察：如图在长方体中，直线与的位置关系如何？

结论：直线与既不相交，也不平行.

新知1：像直线与这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).

试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.

问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？

新知2：异面直线的画法有如下几种(异面)：

试试：请你归纳出空间直线的位置关系.

探究2：平行公理及空间等角定理

问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?

观察：如图2-1,在长方体中，直线∥，∥，那么直线与平行吗?

图2-1

新知3: 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.

问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?

观察：在图2-1中,与,与的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?

新知4: 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

探究3：异面直线所成的角

问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?

图2-2

新知5: 如图2-2,已知两条异面直线，经过空间任一点作直线 ∥,∥，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作.

反思：思考下列问题.

⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点的位置有关吗?点的位置怎样取才比较简便?

⑵ 异面直线所成的角的范围是多少?

⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?

⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想?

※ 典型例题

例1  如图2-3,分别为空间四边形各边的中点，若对角线                          ，则的值为多少?(性质：平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和).

图2-3

例2  如图2-4，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴和 ⑵和

图2-4

※ 动手试试

练  正方体的棱长为，求异面直线与所成的角.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法；

2. 空间直线的位置关系；

3. 平行公理及空间等角定理.

※ 知识拓展

异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.

如图，，则直线与直线是异面直线.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 为三条直线，如果，则的位置关系必定是（    ）.

A.相交   B.平行   C.异面   D.以上答案都不对 

2. 已知是异面直线，直线平行于直线，那么与（    ）.

 A.一定是异面直线     B.一定是相交直线

 C.不可能是平行直线   D.不可能是相交直线

3. 已知,，且是异面直线，那么直线（    ）.

 A.至多与中的一条相交

 B.至少与中的一条相交

 C.与都相交

 D.至少与中的一条平行

4. 正方体的十二条棱中，与直线是异面直线关系的有___________条.

5. 长方体中,,

=1，异面直线与所成角的余弦值是______.

课后作业

1. 已知是正方体棱，的中点，求证：.

2. 如图2-5，在三棱锥中，，、

分别是和上的点，且，设与、所成的角分别为，

求证：°.

图2-5