高中数学《指数函数》同步练习28 新人教A版必修1

指数函数、对数函数、幂函数

[核心突破]

指数幂运算性质，对数运算法则，指对幂函数图象和性质.

[基础再现]

1.若则=________；

2.设，则的取值范围是____________；

3.若关于的方程有实根，则的取值范围是__________;

4.化简：=________________；

5.已知：（用表示）=_____________；

6.已知，且，则的取值范围是____________.

[典型例题]

例1：1.已知函数的图象与函数g（x）的图象关于直线对称，

则关于函数有下列命题, 其中正确命题的序号为        . 

①的图象关于原点对称；②为偶函数；的最小值为0； 

④在（0，1）上为减函数.

2.若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是           ．

3.已知函数（a是常数且a>0）.正确命题的序号是____

①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是连续的；③函数f(x)在R上存在反函数；

④对任意且，恒有．

例2：已知幂函数(∈Z)为偶函数,且在区间（0，+∞）上是单调减函数.(1)求函数； (2)讨论的奇偶性.

例3：已知函数的定义域恰为（0，+），是否存在这样的a,b，使得f(x)恰在（1, +）上取正值，且f(3)=lg4？若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由．

例4：在xOy平面上有一点列P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…，Pn(an,bn)，…，对每个正整数n点Pn位于函数y=2000()x(0<a<10)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形．

（1）求点Pn的纵坐标bn的表达式；

（2）若对于每个正整数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

参考答案

[基础再现]

（1）若则=；

（2）设，则的取值范围是；

（3）若关于的方程有实根，则的取值范围是。

（4）化简：；

（5）已知：（用表示）；

（6）已知，且，则的取值范围是；

解析：（1）∵==36=18 ，

 ==47  ，∴原式==。

（2）  ，∴ ，∴， 

∴， ∴。

（3）由已知得 ，∴，∴。

评析：指数的值恒大于零，负值要舍去。

（4）原式=。

（5）∵，，又∵，

   ∴

                =。

 (6)且， ，

 ，∴ ，∴ 。

[典型例题]

例1  1.②③  2.   3. ①④

例2.已知幂函数(∈Z)为偶函数,且在区间（0,+∞）上是单调减函数.

(1)求函数； (2)讨论的奇偶性.

分析：先求，然后根据奇偶性的定义判断。

解：（1）∵是偶函数，∴应为偶数。

又∵在（0，+∞）上是单调减函数，

∴<0，-1<<3。

又∈Z，∴=0，1，2。

当=0或2时，=-3不是偶数，舍去；

当=1时，=-4；∴=1，

即。

（2），∴

①当，函数为非奇非偶函数；

②当，函数为偶函数；

③当，函数为奇函数；

④当，函数既是奇函数，又是偶函数。

评析：两个字母都需讨论时，可先讨论其中一个，再讨论另外一个。

例3．已知函数的定义域恰为（0，+），是否存在这样的a,b，使得f(x)恰在（1，+）上取正值，且f(3)=lg4？若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由．

点拨：要求a,b的值即先求k的值。利用定义域恰为（0，+）建立k的关系式，显性f(x)的单调性是解题的关键.

解∵ a–kb>0，即 ()>k．又 a>1>b>0，∴ >1    ∴ x>logk为其定义域满足的

条件，又∵函数f (x) 的定义域恰为(0,+) ， ∴logk =0，  ∴k=1． 

 ∴f (x)=lg(a–b)．

若存在适合条件的a，b则f (3)=lg(a–b)= lg4且lg(a–b)>0 对x>1恒成立，

又由题意可知f (x)在(1,+)上单调递增．

∴x>1时f (x) > f (1) ，由题意可知f (1)=0  即a–b=1  又a–b=4

注意到a>1>b>0，解得a=,b=．

∴存在这样的a，b满足题意．

变式：（1）函数且a,b为常数在（1，+）有意义,求实数k的取值范围；

（2）设函数其中a为常数且f(3)=1讨论函数f(x)的图象是否是轴对称图形？并说明理由．

例4．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…，Pn(an,bn)，…，对每个正整数n点Pn位于函数y=2000()x(0<a<10)的图象上，且点Pn、点(n,0)、点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形．

（1）求点Pn的纵坐标bn的表达式；

（2）若对于每个正整数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

（3）设(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{cn}前多少项的和最大？试说明理由．

解1）由题意知：an=n+,∴bn=2000()．

（2）∵函数y=2000()x(0<a<10)递减，∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2．则以

bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()－1>0,

解得a<－5(1+)或a>5(－1)．∴5(－1)<a<10．