北京四中高一数学同步复习指数函数、对数函数及幂函数 知识讲解《指数与指数幂的运算》基础（人教A版，必修1）
展开指数与指数幂的运算
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；
(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；
4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．
【要点梳理】
要点一、整数指数幂的概念及运算性质
1．整数指数幂的概念
2．运算法则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
要点二、根式的概念和运算法则
1．n次方根的定义：
若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.
2．两个等式
（1）当且时，；
（2）
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．
要点三、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
要点四、有理数指数幂的运算
1．有理数指数幂的运算性质
(1)
(2)
(3)
当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；
(3)幂指数不能随便约分.如.
2.指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.
【典型例题】
类型一、根式
例1.求下列各式的值：
（1）.
【答案】 -3；；；
【解析】 熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是，但不是.
（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.
举一反三：
【变式1】计算下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）-2；（2）3；（3）；（4）.
例2.计算：（1）；
（2）.
【答案】．
【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.
（1）
=+-
=
=||+||-||
=+-（）
=2
（2）
=
=
=
【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以.
举一反三：
【变式1】化简：（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
类型二、指数运算、化简、求值
例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】 ；；；
【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．
（1）
（2）；
（3）；
（4）解法一：从里向外化为分数指数幂
==
=
=
=
解法二：从外向里化为分数指数幂．
=
==
=
=
【总结升华】 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
举一反三：
■高清课程：指数与指数运算 例1
【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）；
【答案】（1）；（2）．
【变式2】把下列根式化成分数指数幂：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】；；；
【解析】（1）=；
（2）；
（3）；
（4）=
=．
例4.计算：
(1)；
(2)
(3)．
【答案】 3；0；2
【解析】(1)原式=；
(2)原式=；
(3)原式=-5+6+4--(3-)=2；
注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.
举一反三：
【变式1】计算下列各式：
(1)； (2).
【答案】 112；．
【解析】(1)原式=；
(2)原式.
【变式2】计算下列各式：■高清课程：指数与指数运算 例3
【答案】21+
【解析】原式=16++5+2+=21+．
例5.化简下列各式.
(1) ； (2)； (3).
【答案】 ；；0.09
【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.
(1)
(2)
(3)
举一反三：
【变式1】化简：
.
【答案】
【解析】原式=.
注意：当n为偶数时，.
【变式2】化简
【答案】
【解析】应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，
原式
.
【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.
【变式3】化简下列式子：
(1) (2) (3)
【答案】 ；；
【解析】 (1)原式
(2)
∴由平方根的定义得：
(3)
.
■高清课程：指数与指数运算 例4
例6．已知，求的值．
【答案】
【解析】 从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．
，，
，
=
=
【总结升华】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．本题的关键是先求及的值，然后整体代入．
举一反三：
【变式1】求值：
(1)已知，求的值；
(2)已知a>0， b>0， 且ab=ba， b=9a，求a的值.
【答案】 23；
【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题.
(1)由，两边同时平方得x+2+x-1=25，整理得：x+x-1=23，则有；
(2)a>0， b>0， 又∵ ab=ba， ∴
∴ .
