人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念综合与测试课后作业题

这是一份人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念综合与测试课后作业题，共11页。试卷主要包含了相同函数的判定方法，函数的定义域的求法，函数值域的求法，单调性的判断步骤，奇偶性的判断步骤等内容，欢迎下载使用。

章末复习课




1．正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的，其属性是确定的．
2．在判定给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”；在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”．
3．在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质．
4．若集合中的元素是用坐标形式给出的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之．
5．若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时要不重不漏．
6．相同函数的判定方法：(1)定义域相同；(2)对应关系相同(两点必须同时具备)．
7．函数的定义域的求法：使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域．常涉及的依据为：(1)分母不为0；(2)偶次根式中被开方数不小于0；(3)零指数幂的底数不等于零；(4)实际问题要考虑实际意义等．
8．函数值域的求法：(1)配方法(二次或四次)；(2)数形结合；(3)函数的单调性法等．
9．单调性的判断步骤：(1)设x1，x2是所研究区间内的任意两个自变量，且x1 10．奇偶性的判断步骤：(1)先求函数的定义域，若定义域关于坐标原点对称，继续以下步骤，若不对称，则为非奇非偶函数；(2)计算f(－x)的值；(3)判断f(－x)与±f(x)中的哪一个相等；(4)下结论.


一、集合中空集的特殊性及特殊作用

空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间的关系问题时，它往往易被忽视而引起解题失误．
例1　已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C
分析　B⊆A包括两种情况，即B＝∅和B≠∅.
解　(1)当B≠∅时，由x2－3x＋2＝0，得x＝1或2.
当x＝1时，a＝2；当x＝2时，a＝1.
(2)当B＝∅时，即当a＝0时，B＝∅，符合题设，故实数a组成的集合C＝{0,1,2}．


　　　　　　 二、集合中元素的互异性

集合中元素的互异性是集合中元素的重要属性，这一属性在解题过程中常被忽略而造成错误．因此在涉及集合中元素的有关性质时，要有问题被解决后作检验这一意识．
例2　已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．
分析　要求c的值，根据集合相等，转化为解方程问题来解决．集合A，B有公共元素a，所以使余下的元素相等即可．
解　若a＋b＝ac，且a＋2b＝ac2，
消去b，则有a－2ac＋ac2＝0.
显然a≠0，否则集合B的元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，所以1－2c＋c2＝0，得c＝1，这时B＝{a，a，a}，
仍与集合中元素的互异性矛盾；
若a＋b＝ac2，且a＋2b＝ac，
消去b，则有2ac2－ac－a＝0，又a≠0，
则有2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0，
又c≠1，所以c＝－.



　　　　　 　三、函数的性质及应用

研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及解析式等方面入手，通过对函数性质的应用使问题得以解决．
例3　已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．
解　(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－＝.
比较得n＝－n，n＝0.
又f(2)＝，∴＝，解得m＝2.
即实数m和n的值分别是2和0.
(2)函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在(－1,0)上为减函数．
证明如下：由(1)可知f(x)＝＝＋.
设x1 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·.
当x10，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) ∴函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数；
当－1 x1－x2<0，x1x2>0，x1x2－1<0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在(－1,0)上为减函数．



　　　　　　 四、函数图象及应用

函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．
函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题．
例4　设函数f(x)＝x2－2|x|－1 (－3≤x≤3)，
(1)证明f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(4)求函数的值域．
(1)证明　f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)解　当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，

当x<0时，f(x)=x2+2x-1
=(x+1)2-2，
即f(x)=

根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．
(3)解　函数f(x)的单调区间为
[-3，-1)，[-1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[-3，-1)和[0,1)上为减函数，
在[-1,0)，[1,3]上为增函数．
(4)解　当x≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2，最大值为f(3)=2；
当x<0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2，最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2]
.
一、选择题
1．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．f B．f(－1) C．f(2) D．f(2) 答案　D
解析　由f(x)是偶函数，得f(2)＝f(－2)，
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，
且－2<－<－1，则f(2) 二、填空题
2．有下列四个命题：
①函数f(x)＝为偶函数；
②函数y＝的值域为{y|y≥0}；
③已知集合A＝{－1,3}，B＝{x|ax－1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，则a的取值集合为；
④集合A＝{非负实数}，B＝{实数}，对应法则f：“求平方根”，则f是A到B的映射．
你认为正确命题的序号为：________.
答案　②④
解析　函数f(x)＝的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确；
函数y＝的定义域为{x|x≥1}，当x≥1时，y≥0，即命题②正确；
因为A∪B＝A，所以B⊆A，若B＝∅，满足B⊆A，这时a＝0；
若B≠∅，由B⊆A，得a＝－1或a＝.
因此，满足题设的实数a的取值集合为，即命题③不正确．
依据映射的定义知，命题④正确．
三、解答题
3．已知集合A＝{x|－20}，B＝{x|a≤x≤b}，满足A∩B＝{x|0－2}．求a、b的值．
解　将集合A、A∩B，A∪B分别在数轴上表示，
如图所示

由A∩B＝{x|0 由A∪B＝{x|x>－2}知－2 综上可知：a＝－1，b＝2.
4．设全集U＝R，A＝{x|x>1}；B＝{x|x＋a<0}，且B∁UA，求实数a的取值范围．
解　

∵U=R，A={x|x>1}，
∴∁UA={x|x≤1}．
∵x+a<0，x<-a，∴B={x|x<-a}．
又∵B∁UA，∴-a≤1，∴a≥-1.
5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围．
解　集合A是关于x的方程的解集．至多有一个真子集的集合有两种情况：一是恰有一个真子集，二是没有真子集，即集合A为空集．
若A＝∅，则集合A无真子集，这时关于x的方程ax2＋2x＋1＝0无实数解，则a≠0，且Δ＝4－4a<0，解得a>1.
若集合A恰有一个真子集，这时集合A必为单元素集．
可分为两种情况：
(1)a＝0时，方程为2x＋1＝0，x＝－；
(2)a≠0时，则Δ＝4－4a＝0，a＝1.
综上，当集合A至多有一个真子集时，实数a的取值范围为a≥1或a＝0.
6．已知f(x)＝
(1)求：f(－2)，f(0)，f(1)，f(4)；
(2)画出函数图象；
(3)指出函数的值域．
解　，x≠0，x∈R；
＝－2包含在区间(－∞，－1)中，
∴f(－2)＝(－2)2－2(－2)＋4＝12.
x＝0包含在区间[－1,1)中，∴f(0)＝5.
x＝1包含在区间[1，＋∞)中，∴f(1)＝3.
x＝4包含在区间[1，＋∞)中，∴f(4)＝3.
(2)如图所示

(3)由图象知，函数的值域为[3，+∞)．
7．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝2，
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的增减性，并证明；
(3)若f(a)>2，求a的取值范围．
解　(1)∵f(1)＝2，∴f(1)＝1＋m＝2，∴m＝1，
∴f(x)＝x＋，
则f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
又f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
∴函数f(x)是奇函数．
(2)设1 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝x1－x2＋－＝x1－x2＋
＝(x2－x1)＝.
∵10，x1x2>0，x1x2>1，
∴1－x1x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1) (3)

同理可证f(x)在(0,1)上是减函数，由于函数是奇函数，可得简图．
∵f(a.)>2，即f(a.)>f(1)，
∴a.>1或0 ∴a的取值范围是(0,1)∪(1，+∞)．
章末检测

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2,3}，N＝{2,5}，则M∩(∁UN)等于(　　)
A．{2} B．{2,3} C．{3} D．{1,3}
答案　D
解析　∁UN＝{1,3,4}，M∩(∁UN)＝{1,2,3}∩{1,3,4}＝{1,3}．
2．下列集合不同于其他三个集合的是(　　)
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}
C．{x＝1} D．{1}
答案　C
解析　A、B、D都表示元素是1的集合，C表示元素为“x＝1”的集合．
3．下列集合不能用区间形式表示的是(　　)
①A＝{1,2,3,4}；②{x|x是三角形}；
③{x|x>1，且x∈Q}；④∅；
⑤{x|x≤0，或x≥3}；⑥{x|2 A．①②③ B．③④⑤
C．⑤⑥ D．①②③④⑥
答案　D
解析　根据区间的意义知只有⑤能用区间表示，其余均不能用区间表示．
4．下列各图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是图中的(　　)

答案　A
解析　根据函数的概念知，只有“一对一”或“多对一”的对应才能构成函数关系．
5．下列函数表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝|x|，g(x)＝x
B．f(x)＝|x|，g(x)＝
C．f(x)＝x，g(x)＝
D．f(x)＝x(x－1)，g(x)＝x2－x (x>1)
答案　B
解析　选项A中两函数的对应关系不同，选项C、D中两函数的定义域不同．
6．函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　)

答案　B
解析　f(x)=|x-1|=，由分段函数的作图方法可知选项B正确．
7．设f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于(　　)
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
答案　B
解析　g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3＝2(x＋2)－1.
∴g(x)＝2x－1.
8．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　)
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－|x|
答案　B
解析　y＝3－x在(0,2)上为减函数，y＝在(0,2)上为减函数，y＝－|x|在(0,2)上亦为减函数．
9．已知函数f(x)＝，则f(f(－2))的值是(　　)
A．2 B．－2 C．4 D．－4
答案　C
解析　∵x＝－2<0，∴f(－2)＝(－2)2＝4，
又4>0，∴f(f(－2))＝f(4)＝4.
10．设A＝{x|1 A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a.|a≤2}
答案　A
解析　如图所示，

∴a≥2.
11．已知集合M＝，N＝，P＝，则M、N、P的关系是(　　)
A．M＝NP B．MN＝P
C．MNP D．NPM
答案　B
解析　m＋＝，－＝，
＋＝，
∵m，n，p∈Z，∴3n－2、3p＋1都是3的倍数加1,6m＋1是6的倍数加1.
∴MN＝P.
12．设f(x)＝，则f{f[f(x)]}的解析式为(　　)
A. B.
C．－x D．x
答案　D
解析　f[f(x)]＝＝
∴f{f[f(x)]}＝＝x.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．函数y＝＋的定义域为________．
答案　[－1,2)∪(2，＋∞)
解析　由题意知，∴x≥－1且x≠2.
14．用列举法表示集合：M＝＝________________________.
答案　{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}
解析　由∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，故|m＋1|＝1,2,5,10，从而m的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.
15．已知集合{2x，x＋y}＝{7,4}，则整数x＝________，y＝________.
答案　2　5
解析　由集合相等的定义知，
或，解得或，
又x，y是整数，所以x＝2，y＝5.
16．若函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．
答案　(－∞，0]
解析　∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝kx2－(k－1)x＋2
＝kx2＋(k－1)x＋2＝f(x)，
∴k＝1，∴f(x)＝x2＋2，其递减区间为(－∞，0]．
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(12分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
(1)求A∪B，(∁UA)∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
解　(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1 ＝{x|1 ∵∁UA＝{x|x<2或x>8}．
∴(∁UA)∩B＝{x|1 (2)∵A∩C≠∅，∴a<8.
18．(12分)若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B⊆A，求实数m的取值范围．
解　∵B⊆A，当B＝∅时，得2m－1>m＋1，m>2，
当B≠∅时，得
解得－1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围为m≥－1.
19．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，求f(x)的值域．
解　∵f(x)是偶函数，
∴定义域[a－1,2a]关于原点对称．
∴
∴a＝，b＝0.
∴f(x)＝x2＋1，x∈.
∴f(x)的值域为.
20．(12分)判断并证明f(x)＝在(－∞，0)上的增减性．
解　在(－∞，0)上单调递增．证明如下：
设x1 f(x1)－f(x2)＝－
＝＝
∵x2－x1>0，x1＋x2<0,1＋x>0,1＋x>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1) ∴f(x)在(－∞，0)上单调递增．
21．(12分)定义在实数集R上的函数y＝f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝－4x2＋8x－3.
(1)求f(x)在R上的表达式；
(2)求y＝f(x)的最大值，并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明)．
解　(1)设x<0，则－x>0，
f(－x)＝－4(－x)2＋8(－x)－3＝－4x2－8x－3.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴当x<0时，f(x)＝－4x2－8x－3.
∴f(x)＝，
即f(x)＝.
(2)∵y＝f(x)开口向下，
∴y＝f(x)有最大值，f(x)max＝f(－1)＝f(1)＝1.
函数y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]，
单调递减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
22．(14分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
解　(1)由题意可知
∴.　解得 故函数g(x)的定义域为.
(2)由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
∴f(x－1)≤－f(3－2x)．
∵f(x)为奇函数，∴f(x－1)≤f(2x－3)．
而f(x)在(－2,2)上单调递减．
∴　解得 ∴g(x)≤0的解集为.