2021学年1.1 空间向量及其运算课后练习题

1.1 空间向量及其运算--提高练

一、选择题

1．（2020·辽宁葫芦岛市高二期末）在下列结论中：

①若向量共线，则向量所在的直线平行；

②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；

③若三个向量两两共面，则向量共面；

④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.

其中正确结论的个数是(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．

两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，

三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，需不共面，故④错．综上，选A．

2．（2020广东湛江市高二期末）如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，在平行六面体中，

，故选：C

3．（2020江西宜春市高二期中）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，

所以，

即.故选：B.

4．己知，，是空向单位向量，且满足，若向量，.则在方向上的投影的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】易得是空间中两两夹角为60°的单位向量.如下图，

构造棱长为1的正四面体，使得，

在射线上取点，使得

设，则，由三点共线知在直线上.

由定义知在方向上的投影=

作点在平面上的射影.由最小角定理，当且仅当向量与向量同向时，最小，最大.即.故选：D.

5．（多选题）下列命题是真命题的是（    ）

A．若，则的长度相等而方向相同或相反

B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

C．若两个非零向量与满足，则

D．若空间向量，满足，且与同向，则

【答案】BC

【解析】A. 若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；

B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；C. 若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；D. 若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.故选：BC

6．（多选题）（2020福建莆田一中高二期末）如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（    ）

A．平面平面 B．不是定值

C．三棱锥的体积为定值 D．

【答案】ACD

【解析】A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；B.

，故，故B不正确；

C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确；

D.，，，所以平面，平面，所以，故D正确.故选：ACD

二、填空题

7．如图在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.

【答案】

【解析】在四面体中，、分别是、的中点，

则

.

8．在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.

【答案】  .   

【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则

.,又.

又.设异面直线与所成角为则

.

9．已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________.

【答案】1; .   

【解析】

取的中点，

，又，空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为

，

10．（2020上海复旦附中高二期中）已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为__________

【答案】

【解析】设.则,,.

由为底面中心,

又因为四点共面,所以且.

所以，即

即.

三、解答题

11．试证：若坐标平面内的三点，，共线，为坐标原点，则存在三个均不为零的实数，，，使得，且，反之也成立.

【答案】见解析

【解析】证明：①若，则，∴.

又，

∴，

∴，∴，∴，，三点共线.

②若，，三点共线，则存在常数，使，

∴，∴，

令，，，则由且，知，，，不为零，

∴，且.

12.（2020山东泰安实验中学高二月考）如图，四棱锥的底面是矩形，，且底面.

（1）求向量在向量上的投影；

（2）若线段上存在异于的一点，使得，求 的最大值.

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

（1）连接平面平面ABCD

故向量在向量上的投影为：

（２）连接平面平面ABCD

，又

平面SAP，又平面ADP

设

，

当时，的最大值为１．