2013年人教A数学必修1电子题库：第一章1.3.1第2课时知能演练轻松闯关 Word版含答案

1．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　)

A．有最大值　　　　　　　

B．有最小值

C．是增函数 

D．是减函数

解析：选C.

画出函数f(x)＝2x－1(x<0)的图象，如右图中实线部分所示．

由图象可知，函数f(x)＝2x－1(x<0)是增函数，无最大值及最小值．故选C.

2．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)

A．2 

B.

C. 

D．－

解析：选B.函数y＝在[2,3]上为减函数，

∴ymin＝＝.

3．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.

解析：∵f(x)在[1，b]上是减函数，

∴f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，

∴b＝4.

答案：4

4．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．

解析：∵x∈N*，∴x2≥1，

∴y＝2x2＋2≥4，

即y＝2x2＋2在x∈N*上的最小值为4，此时x＝1.

答案：4

[A级　基础达标]

1．函数f(x)＝x2－4x＋3，x∈[1,4]，则f(x)的最大值为(　　)

A．－1 

B．0

C．3 

D．－2

解析：选C.∵f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f(1)＝0，f(4)＝3.

∴f(x)的最大值是3.

2．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)

A．10、6 

B．10、8

C．8、6 

D．以上都不对

解析：选A.f(x)在x∈[－1,2]上为增函数，f(x)max＝f(2)＝10，f(x)min＝f(－1)＝6.

3．函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上的最大值为(　　)

A．9 

B．9(1－a)

C．9－a 

D．9－a2

解析：选A.x∈[0,3]时f(x)为减函数，f(x)max＝f(0)＝9.

4．函数f(x)＝x－2，x∈{0,1,2,4}的最大值为________．

解析：函数f(x)自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f(4)＝2.

答案：2

5．函数f(x)＝x2＋bx＋1的最小值是0，则实数b＝________.

解析：f(x)是二次函数，二次项系数1>0，

则最小值为f(－)＝－＋1＝0，

解得b＝±2.

答案：±2

6．已知函数f(x)＝，求f(x)的最大、最小值．

解析：当－≤x≤1时，由f(x)＝x2，得f(x)的最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；

当1＜x≤2时，由f(x)＝，得f(2)≤f(x)＜f(1)，

即≤f(x)＜1.

综上f(x)max＝1，f(x)min＝0.

[B级　能力提升]

7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为(　　)

A．－1 

B．0

C．1 

D．2

解析：选C.因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值，及－4＋4＋a＝－2，所以a＝－2，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.故选C.

8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)

A．90万元 

B．60万元

C．120万元 

D．120.25万元

解析：选C.设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售15－x辆，公司获利为

L＝－x2＋21x＋2(15－x)

＝－x2＋19x＋30

＝－(x－)2＋30＋，

∴当x＝9或10时，L最大为120万元．

9．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝______.

解析：若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，当x＝3时，y＝4，∴3a＋1＝4，∴a＝1.

综上：a＝1.

答案：1

10．已知函数f(x)＝－(a>0)．

(1)证明f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

(2)若f(x)的定义域、值域都是[，2]，求实数a的值．

解：(1)证明：设x2>x1>0，

则f(x2)－f(x1)＝(－)－(－)

＝－＝.

∵x2>x1>0，∴x2－x1>0，

∴>0，即f(x2)>f(x1)．

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

(2)∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[，2]，

∴

∴a＝.

11.

如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m，问每间笼舍的宽度x为多少m时，才能使得每间笼舍面积y达到最大？每间最大面积为多少？

解：设总长为b，

由题意知b＝30－3x，

可得y＝xb，

即y＝x(30－3x)

＝－(x－5)2＋37.5，x∈(0,10)．

当x＝5时，y取得最大值37.5，

即每间笼舍的宽度为5 m时，每间笼舍面积y达到最大，最大面积为37.5 m2.