2013届新课标高考一轮复习训练手册（文科） 第六课时B《函数的奇偶性与周期性》人教A版必修1

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课时作业(六)B　[第6讲　函数的奇偶性与周期性] [时间：35分钟　　分值：80分]1．[2011·湖北卷]  若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)A．ex－e－x  B.(ex＋e－x)C.(e－x－ex)  D.(ex－e－x)2．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图象(　　)A．关于点(1,0)对称  B．关于点(0,1)对称C．关于点(－1,0)对称  D．关于点(0，－1)对称3．[2011·陕西卷]  设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是(　　)图K6－14．[2010·江苏卷]  设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①f(|x|)为偶函数；②f(x)＋f(－x)为非奇非偶函数；③f(x)－f(－x)为奇函数；④[f(x)]2为偶函数．其中正确判断的个数有(　　)A．1个  B．2个  C．3个  D．4个6．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝(　　)A．{x|x＜－2或x＞4}  B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}  D．{x|x＜－2或x＞2}7．[2011·大连模拟]  已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2009)＋f(2011)的值为(　　)A．－1  B．1C．0  D．无法计算8．关于函数f(x)＝lg(x∈R，x≠0)，有下列命题：①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；②在区间(－∞，0)上，f(x)是减函数；③函数y＝f(x)的最小值是lg2；④在区间(－∞，0)上，f(x)是增函数．其中正确的是(　　)A．①②  B．②④  C．①③   D．③9．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式xf(x)<0的解集为________．10．设a为常数，f(x)＝x2－4x＋3，若函数f(x＋a)为偶函数，则a＝________；f[f(a)]＝________.11．[2011·合肥模拟]  设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f的所有x之和为________．12．(13分)设函数f(x)＝是奇函数(a，b，c都是整数)，且f(1)＝2，f(2)<3，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(1)求a，b，c的值；(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？证明你的结论．    13．(12分)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①∀x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f(2)＝1.(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集．                 课时作业(六)B【基础热身】1．D　[解析] 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x.又因为f(x)＋g(x)＝ex，所以g(x)＝.2．B　[解析] 令g(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，则g(x)为奇函数，所以g(x)的图象关于原点(0,0)对称，当x＝0时，有f(0)－1＝0，此时f(0)＝1，所以对称中心为(0,1)．3．B　[解析] 由f(－x)＝f(x)可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用f(x＋2)＝f(x)，可知函数为周期函数，且T＝2，必满足f(4)＝f(2)，排除D，故只能选B.4．－1　[解析] 设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数．又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.【能力提升】5．B　[解析] 对于①，用－x代替x，得f(|－x|)＝f(|x|)，所以①正确；对于②，用－x代替x，得f(－x)＋f(x)＝f(x)＋f(－x)，所以②错误；对于③，用－x代替x，得f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]，所以③正确；易知④错误．6．B　[解析] ∵f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令f(x)＞0，得x＞2.又f(x)为偶函数且f(x－2)＞0，∴f(|x－2|)＞0，∴|x－2|＞2，解得x＞4或x＜0，∴{x|x＜0或x＞4}．7．C　[解析] 由题意得g(－x)＝f(－x－1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2009)＝f(1)，f(2011)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2009)＋f(2011)＝0.8．C　[解析] 由函数f(x)的定义域为∪，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x>0时，f(x)＝lg＝lg≥lg2，函数f(x)在，上为减函数，在，上为增函数．故①③正确．9．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)　[解析] 通过f(x)(x∈R)图象的草图得知函数f(x)(x∈R)在(－∞，－4)，(－1,1)，(4，＋∞)上都为正，在(－4，－1)，(1,4)上为负，故不等式xf(x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．10．2　8　[解析] 由题意得f(x＋a)＝(x＋a)2－4(x＋a)＋3＝x2＋(2a－4)x＋a2－4a＋3，因为f(x＋a)为偶函数，所以2a－4＝0，a＝2.f[f(a)]＝f[f(2)]＝f(－1)＝8.11．－8　[解析] ∵f(x)是偶函数，f(2x)＝f，∴f(|2x|)＝f，又∵f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，∴|2x|＝，即2x＝或2x＝－，整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，设方程2x2＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的两根为x3，x4.则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋＝－8.12．[解答] (1)由f(1)＝2，得＝2，由f(2)<3，得<3.∵函数f(x)是奇函数，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．又函数f(x)的定义域为，则－＝0，∴c＝0，于是得f(x)＝＋，且＝2，<3，∴<3，即0<b<.又b∈Z，∴b＝1，则a＝1.a＝1，b＝1，c＝0符合f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知f(x)＝x＋.已知函数f(x)是奇函数，且在(1，＋∞)上单调递增，根据奇函数的对称性，可知f(x)在(－∞，－1)上单调递增；以下讨论f(x)在区间[－1,0)上的单调性．当－1≤x1<x2<0时，f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·，显然x1－x2<0,0<x1x2<1,1－<0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴函数f(x)在[－1,0)上为减函数．综上所述，函数f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数．【难点突破】13．[解答] (1)令x＝y＝1，则f(1×1)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝0；再令x＝y＝－1，则f[(－1)·(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.对于条件f(x·y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)．又函数f(x)的定义域关于原点对称，所以函数f(x)为偶函数．(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则有>1.又∵当x>1时，f(x)>0，∴f>0.又f(x2)＝f＝f(x1)＋f>f(x1)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，又f(2)＝1，∴f(4)＝2.又由(1)(2)知函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.(4)∵f(3x－2)＋f(x)＝f[x(3x－2)]，4＝2＋2＝f(4)＋f(4)＝f(16)，∴原不等式等价于f[x(3x－2)]≥f(16)．又函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价于|x(3x－2)|≥16，即x(3x－2)≥16或x(3x－2)≤－16，解得x≤－2或x≥，∴不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集为.