2013届高三数学复习随堂训练（文科）湖南专版 第6讲《函数的奇偶性与周期性》人教A版必修1A

课时作业(六)A　[第6讲　函数的奇偶性与周期性]

 [时间：35分钟　　分值：80分]

1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)

A．－  B.  C.  D．－

2．已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝4x－1，则f(－5.5)的值为(　　)

A．2  B．－1  C．－  D．1

3．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)<f(－1)，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．f(－1)<f(3)  B．f(2)<f(3)

C．f(－3)<f(5)  D．f(0)>f(1)

4．[2011·辽宁卷] 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)

A.  B.  C.  D．1

5．已知f(x)＝则f(x)为(　　)

A．奇函数  B．偶函数

C．非奇非偶函数  D．不能确定奇偶性

6．[2011·济南二模]  设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝(　　)

A．10  B.  C．－10  D．－

7．[2011·长春二调]  已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为(　　)

A.∪(，＋∞)  B．(，＋∞)

C.∪(2，＋∞)  D.

8．若x∈R，n∈N＋，规定：H＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如：H＝(－3)·(－2)·(－1)＝－6，则函数f(x)＝x·H(　　)

A．是奇函数不是偶函数

B．是偶函数不是奇函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数

9．[2011·安徽卷]  设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.

10．[2011·岳阳一中模拟] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则不等式f(x2－3x＋2)>f(6)成立的x的取值范围是________．

11．已知定义在R上的函数f(x)满足：

①函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；

②对∀x∈R，f＝f成立；

③当x∈时，f(x)＝log2(－3x＋2)，

则f(2012)＝________.

12．(13分)已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

13．(12分)对任意实数x，给定区间(k∈Z)，设函数f(x)表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值．

(1)当x∈时，求出函数f(x)的解析式；

(2)当x∈(k∈Z)时，写出用绝对值符号表示的f(x)的解析式，并说明理由；

(3)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论．

课时作业(六)A

【基础热身】

1．B　[解析] ∵函数f(x)＝ax2＋bx在[a－1,2a]上为偶函数，∴b＝0，且a－1＋2a＝0，即b＝0，a＝.∴a＋b＝.

2．D　[解析] f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝40.5－1＝1.

3．D　[解析] 函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，因此f(x)＝f(|x|)，于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，则f(3)<f(1)．又f(x)在[0,5]上是单调函数，从而函数f(x)在[0,5]上是单调减函数，观察选项，只有D正确．

4．A　[解析] 法一：由已知得f(x)＝的定义域关于原点对称，由于该函数定义域为，知a＝，故选A.

法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

又f(x)＝，

则＝在函数的定义域内恒成立，可得a＝.

【能力提升】

5．A　[解析] 若x<0，则－x>0，∴f＝2－＋1＝x2＋x＋1＝－f.若x>0，则－x<0，

∴f＝－2－－1＝－x2＋x－1＝－f.∴f为奇函数．

6．B　[解析] 由f(x＋6)＝－＝f(x)知该函数为周期函数，周期为6，所以f(107.5)＝f＝f，又f(x)为偶函数，则f＝f＝－＝－＝.

7．A　[解析] 作出函数f(x)图象的示意图如图，则原不等式等价于log2x＞或log2x<－，解得x>或0<x<.

8．B　[解析] f(x)＝x(x－3)(x－2)(x－1)x(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x2(x2－1)(x2－4)(x2－9)，∴f(x)是偶函数．

9．－3　[解析] 法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，

∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.

法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝－2x2－x(x>0)，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.

10．(－1,4)　[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因此不等式f(x2－3x＋2)>f(6)⇔f(|x2－3x＋2|)>f(6)，所以|x2－3x＋2|<6，所以－1<x<4.

11．－3　[解析] 由函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可得，函数f(x)的图象关于原点对称，

∴f(x)是奇函数．由f＝f得，f＝－f，

∴f＝f＝

－f＝－f(x)，

∴f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)，所以函数f(x)是以3为周期的函数，又2012＝3×670＋2，∴f(2012)＝f(2)＝－f(－2)＝－log2(6＋2)＝－3.

12．[解答] (1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f(x)的图象(图略)知

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

【难点突破】

13．[解答] (1)当x∈时，0为给定区间内的整数，故由定义知，f(x)＝|x|，x∈.

(2)当x∈(k∈Z)时，k为给定区间内的整数，故f(x)＝|x－k|，x∈(k∈Z)．

(3)对任意x∈R，函数f(x)都存在，且存在k∈Z，满足k－≤x≤k＋，f(x)＝|x－k|，由k－≤x≤k＋，得－k－≤－x≤－k＋，此时－k是区间内的整数，因此f(－x)＝|－x－(－k)|＝|－x＋k|＝|x－k|＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．