2013-2014版高一数学《函数的基本性质》新人教A版必修1练习题

周练(三)　函数的基本性质

(时间：80分钟　满分：100分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图象上，则f(1)等于

(　　)．

A．0  B．－1  C．3  D．－3

解析　由题知，f(－1)＝3，因为f(x)为奇函数，

所以f(1)＝－f(－1)＝－3.

答案　D

2．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于

(　　)．

A．－2  B．－1  C．1  D．2

解析　∵f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，

∴f(－x)＝f(x)．

即(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)，

∴x·(a－1)＝x·(1－a)，

故1－a＝0，∴a＝1.

答案　C

3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

(　　)．

A．y＝x＋1   B．y＝－x3

C．y＝   D．y＝x|x|

解析　A中为非奇非偶函数，B为减函数，C在定义域内不单调，对于D，当x≥0，y＝x2是增函数；当x＜0，y＝－x2是增函数，显然是奇函数．

答案　D

4．函数y＝在[2,3]上的最小值为

(　　)．

A．2  B.  C.  D．－

解析　作出图象可知y＝在[2,3]上是减函数，

ymin＝＝.

答案　B

5．函数y＝＋是

(　　)．

A．奇函数   B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数   D．非奇非偶函数

解析　先求定义域，由⇒－1≤x≤1.

∴定义域为[－1,1]，且定义域关于原点对称．

又f(－x)＝＋＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

答案　B

6．已知f(x)在实数集上是减函数，若a＋b≤0，则下列正确的是

(　　)．

A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]

B．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)

C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]

D．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)

解析　由a＋b≤0，得a≤－b，

∵f(x)在R上是减函数，∴f(a)≥f(－b)．

同理f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

答案　B

7．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝

(　　)．

A．x2   B．2x2

C．2x2＋2   D．x2＋1

解析　∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①

∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.

又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，

∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②

由①②联立，得f(x)＝x2＋1.

答案　D

8．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于

(　　)．

A.  B.  C．2  D．9

解析　f(x)＝

∵0＜1，∴f(0)＝20＋1＝2.

∵f(0)＝2≥1，∴f[f(0)]＝22＋2a＝4a，∴a＝2.

答案　C

二、填空题(每小题5分，共20分)

9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝________.

解析　∵偶函数的定义域关于原点对称，

∴a－1＝－2a，a＝.

又f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，

则b＝0.因此a＋b＝.

答案　

10．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，且f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.

解析　∵f(x)是奇函数，且x∈R，∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－.又f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，且f(1)＝.

令x＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(2)，∴f(2)＝1.

因此f(3)＝f(1)＋f(2)＝，

所以f(5)＝f(2)＋f(3)＝.

答案　

11．(2013·长沙高一检测)已知f(x)＝是R上的增函数，那么a的取值范围是________．

解析　∵f(x)在R上是增函数，

∴解之得≤a＜3.

答案　

12．若函数f(x)＝－为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为________．

解析　f(x)为[－1,1]上的奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(0)＝0，故a＝0，则f(x)＝－.

又f(－1)＝－f(1)，得－＝，

故b＝0，于是f(x)＝－x.

因此f(x)＝－x在[－1,1]上是减函数，故f(x)max＝1.

答案　1

三、解答题(每小题10分，共40分)

13．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x4＋；

(2)f(x)＝|x－2|－|x＋2|.

解　(1)函数的定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称．

∵f(－x)＝x4＋＝f(x)，∴函数为偶函数．

(2)函数的定义域为R，关于原点对称，

∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|

＝|x＋2|－|x－2|＝－f(x)，

∴函数为奇函数．

14．已知y＝f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．

解　(1)设x<0，则－x>0，所以

f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2，

又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝x2＋2x－2，又f(0)＝0，

∴f(x)＝　

(2)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如图所示．

由图可知，其增区间为(－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及(1，＋∞)．

15．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元．

(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解　(1)租金增加了900元．

所以未出租的车有15辆，一共出租了85辆．

(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆，租车公司的月收益为y元．

y＝(3 000＋60x)(100－x)－160(100－x)－60x，

其中x∈[0,100]，x∈N，

整理得：y＝－60x2＋3 100x＋284 000

＝－602＋，

当x＝26时，ymax＝324 040，

此时，月租金为：3 000＋60×26＝4 560元．

即当每辆车的月租金为4 560元时，租车公司的月收益最大为324 040元．

16．已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时f(x)＞0.

(1)求证：f(x)是偶函数；

(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

证明　(1)令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0，

令x1＝x2＝－1，可求f(－1)＝0.令x1＝x，x2＝－1，

∴f(－x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，

∴f(x)是偶函数．

(2)设任意x2＞x1＞0，则

f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f，

∵x2＞x1＞0，则＞1，又x＞1时，f(x)＞0，

∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．