数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系练习题

这是一份数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系练习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
2．若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
3．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有( )
A．3条 B．4条
C．6条 D．8条
5．下列命题中，正确的结论有( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6. 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
7．正方体A1B1C1D1－ABCD中，BD与B1C所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
8．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别为P、Q、R，且AC＝4，BD＝2eq \r(5)，PR＝3，则AC和BD所成的角为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
9．如图所示，已知三棱锥A－BCD中M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是( )
A．MN≥eq \f(1,2)(AC＋BD)
B．MN≤eq \f(1,2)(AC＋BD)
C．MN＝eq \f(1,2)(AC＋BD)
D．MN10．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是( )
A．平行
B．相交且垂直
C．异面
D．相交成60°
二、填空题
11．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是________，不平行的两条直线的位置关系是________，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是________，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为________．
12．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点，则
①MN与PQ的位置关系为________，它们所成的角为________．
②DB1与MN的位置关系为________，它们所成的角是________．
13．正方体ABCD－A1B1C1D1中
①AC和DD1所成角是________度．
②AC和D1C1所成的角是________度．
③AC和B1D1所成的角是________度．
④AC和A1B所成的角是________度．
⑤O为B1D1中点，AC和BO所成角是________度．
⑥A1B和B1D1所成角是________度．
14．给出下列命题：
①空间中如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；
②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．
其中成立的是________．
三、解答题
15．如图所示，OA、OB、OC为不共面的三条射线，点A1、B1、C1分别是OA、OB、OC上的点，且eq \f(OA1,OA)＝eq \f(OB1,OB)＝eq \f(OC1,OC)成立．
求证：△A1B1C1∽△ABC.
[分析] 由初中所学平面几何知识，可证明两内角对应相等，进而证明两个三角形相似．
16．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．
[分析] 由于BC∥B1C1，所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可．
17．如下图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq \r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
[分析] 根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．
18．如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别为棱AD、AB、B1C1、C1D1的中点．
求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
说解答案
1[答案] D
[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如下图，就是相交的情况，∴B应排除．
对于C，如上图的a，b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．
只有D符合定义．∴应选D.
规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．
2[答案] C
[解析] 若b∥c，由a∥b，知a∥c，这与a，c异面相矛盾，故b
与c不可能平行，选C.
3[答案] D
[解析] 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，所以AB∥A1B1；又AD与AA1相交，所以AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，所以AB与A1D1异面．故选D.
4[答案] C
[解析] 画一个正方体，不难得出有6条．
5[答案] B
[解析] ②④是正确的．
6[答案] A
[解析] 取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中 ∠EFH＝90°，
HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，
故选A.
7[答案] C
[解析] ∵A1D∥B1C，∴A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角，连接A1B.∵△A1DB为正三角形，
∴∠A1DB＝60°.
8[答案] A
[解析] 如图，P、Q、R分别为AB、BC、CD中点，∴PQ∥AC，QR∥BD，
∴∠PQR为AC和BD所成角
又PQ＝eq \f(1,2)AC＝2，
QR＝eq \f(1,2)BD＝eq \r(5)，RP＝3
∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°
即AC和BD所成的角为90°，故选A.
9[答案] D
[解析] 如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，则ME＝eq \f(1,2)AC，NE＝eq \f(1,2)BD，
所以ME＋NE＝eq \f(1,2)(AC＋BD)．
在△MNE中，有ME＋NE>MN，
所以MN10[答案] D
[解析] 将展开图还原为正方体，如图所示，
则△ABC是等边三角形，所以直线AB、CD在原正方体中的位置关系是相交成60°.
11[答案] 平行、相交、异面；相交、异面；平行、异面；平行、相交、异面．
12[答案] ①相交 60° ②异面 90°
[解析] 连接AC、BD交于O，
取BB1的中点H，连OH，则OH∥B1D，
连AH，HC，则AH＝HC，∴OH⊥AC，
又MN∥AC，OH∥B1D，∴MN⊥B1D.
13[答案] ①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°.
[解析] ①DD1⊥面ABCD ∴DD1⊥AC
②D1C1∥DC ∠DCA＝45°，∴D1C1与AC成45°角
③B1D1∥BD BD⊥AC ∴B1D1⊥AC
④A1B∥D1C，△D1AC为等边三角形，∴成60°角
⑤在正方体中，∵O是B1D1中点，∴O为A1C1中点，
又A1B＝BC1∴BO⊥A1C1，
又AC∥A1C1，∴BO⊥AC，∴AC与BO成90°角．
⑥B1D1∥BD，△A1BD为等边△，∴成60°角．
14[答案] ②
15[证明] 在△OAB中，
∵eq \f(OA1,OA)＝eq \f(OB1,OB)，∴A1B1∥AB.
同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
∴∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
∴△A1B1C1∽△ABC.
[反思] 在立体几何中，常利用等角定理来证明两个角相等．此时要注意观察这两个角的方向必须相同，且能证明它们的两边对应平行．
16[解析] 如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．
理由：∵EF∥B1C1，BC∥B1C1，∴EF∥BC.
17[解析] 取AC的中点F，连接BE、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)，∴BE＝eq \f(\r(5),2).
在Rt△AEF中，AF＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)，AE＝eq \f(1,2)，∴EF＝eq \f(\r(2),2).
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq \f(1,2)，∴BF＝eq \f(\r(5),2).
在等腰△EBF中，cs∠FEB＝eq \f(\f(1,2)EF,BE)＝eq \f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(10),10)，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).
18[证明] 如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，则BF＝A1M＝eq \f(1,2)AB.
又∵BF∥A1M，
∴四边形A1FBM为平行四边形．
∴A1F∥BM.
而F1、M分别为C1D1、A1B1的中点，
则F1M綊C1B1，
而C1B1綊BC，∴F1M∥BC，且F1M＝BC.
∴四边形F1MBC为平行四边形，
∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，
则A1N綊DE，
∴四边形A1NDE为平行四边形．
∴A1E∥DN.
又E1N∥CD，且E1N＝CD，
∴四边形E1NDC为平行四边形．
∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，
且方向都相反．
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
规律总结：证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法．另外，通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明，如本例还可通过证明△EA1F与△E1CF1全等来证明角相等．