高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试复习练习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试复习练习题，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。
新课标数学（人教A版）必修2
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习题
一、选择题
1．【06陕西·理】已知平面外不共线的三点到的距离都相等,则正确的结论是
A. 平面必平行于 B. 平面必与相交
C. 平面必不垂直于 D. 存在的一条中位线平行于或在内
2．【06上海·理】若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的
（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；
（C）充要条件； （D）非充分非必要条件．
3．【06上海·文】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
（A）48 （B）18 （C）24 （D）36
4．【06四川·理】 已知二面角的大小为，为异面直线，且
，则所成的角为
（A） （B） （C） （D）
5．【06四川·理】 已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C
两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离是，则二面角的大小是
（A） （B） （C） （D）
7．【06天津·理】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是
A． B．
C． D．
8．【06北京·文】设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是
A．AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
D．若AB=AC，DB=DC，则ADBC
9．【06天津·文】若为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①；②；③．
其中正确的命题有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．【06浙江·理】如图，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧与的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是
（A） （B） （C） （D）









11．【06浙江·文】如图，正三棱柱的各棱长都为2，分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是
（A）2 （B） （C） （D）
12．【06重庆·文】若是平面外一点，则下列命题正确的是
（A）过只能作一条直线与平面相交
（B）过可作无数条直线与平面垂直
（C）过只能作一条直线与平面平行
（D）过可作无数条直线与平面平行
13．【06重庆·理】对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与
（A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线
14．【06福建·理】对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是
（A）若则　　 （B）若则
（C）若则　　　（D）若、与所成的角相等，则
15．【06湖北·理】关于直线、与平面、，有下列四个命题：
① 若，且，则；
② 若，且，则；
③ 若，且，则；
④ 若，且，则。
其中真命题的序号式
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
16．【06辽宁·文】给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行
④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
17．【06全国Ⅱ·理】如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，则
（A）　 （B） （C）　 　（D）

18．【06全国Ⅱ·文】如图（同理科图），平面平面，
与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，若AB=12，则
（A）4　 　　（B）6 （C）8　　　　（D）9



二、填空题
1．【06安徽·理】多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个
顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）
2．【06安徽·文】平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中
有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：
①1； ②2； ③3； ④4；
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）
A
B
C
D

A1









3．【06山东·文】如图，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面
的距离为　　　　。
4．【06北京·理】已知三点在球心为，半径为的球面上，，且，那么两点的球面距离为 ，球心到平面的距离为______________。
5．【06天津·理】如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到平面的距离为______________。







6．【06天津·文】如图（同理科图），在正三棱柱中，．若二面角
的大小为，则点到直线的距离为　　　　　。
7．【06浙江·理】（如图，在6题上）正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是____________。
8．【06辽宁·理】若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=_____。
9．【06全国Ⅰ·理】已知正四棱椎的体积为12，地面的对角线为，则侧面与底面所成的二面角为____________。
10．【06四川·文】是空间两条不同直线，是空间两条不同平面，下面有四个命题：
① ②
③ ④
其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）。

三、计算题
1．【06广东】 如图所示，、分别是、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，
,。
（I）求二面角的大小；
（II）求直线与所成的角.
【解】（I）∵AD与两圆所在的平面均垂直，
∴AD⊥AB，AD⊥AF，
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角，
依题意可知，ABFC是正方形，所以∠BAF＝450.
即二面角B—AD—F的大小为450；
（II）以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则
，），，
，，
所以，
设异面直线BD与EF所成角为，
则。
直线BD与EF所成的角为。
2．【06安徽·理】如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅰ）证明⊥；
（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。
【解】本小题主要考察直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考察思维能力和空间想象能力；考查应用向量知识解决立体几何问题的能力。满分12分。
方法一：
连结AD，则易知AD与BF的交点为O。
（I）证法1：

又
证法2:


（II）设M为PB的中点，连结AM，MD。

斜线PB在平面ABC内的射影为OB，。

又

因此，为所求二面角的平面角。
在正六边形ABCDEF中，
在Rt
在Rt，则

在中，由余弦定理得
因此，所求二面角的大小为
方法二：
由题设条件，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图。由正六边形的性质，可得
在中， 故
因而有
（I）证明：因 故所以
（II）设M为PB的中点，连结AM, MD, 则M点的坐标


因此，为所求二面角的平面角。


因此，所求二面角的大小为。
3．【06北京·理】 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小.
【解】 解法一：
（Ⅰ）PA平面ABCD，
AB是PB在平面ABCD上的射影，
又ABAC，AC平面ABCD，
ACPB.
（Ⅱ）连接BD，与AC相交与O，连接EO，
ABCD是平行四边形 O是BD的中点
又E是PD的中点， EOPB.
又PB平面AEC，EO平面AEC，
PB平面AEC，
（Ⅲ）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则
EF是△PAD的中位线， \EFPA又平面， \EF^平面
同理FO是△ADC的中位线，\FOAB\FO^AC由三垂线定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角. 又FO＝AB＝PA＝EF。
\ÐEOF＝45°而二面角与二面角E－AC－D互补，
故所求二面角的大小为135°.

解法二：
（Ⅰ）建立空间直角坐标系A—xyz，如图。
设AC=a，PA=b。则有A（0,0,0）、B（0,b,0）、C（a,0,0）、P（0,0,b），
∴ 从而，
∴。
（Ⅱ）连结BD，与AC相交于O，连结EO。
由已知得，，，
∴，
又， ∴ ，
∴ ，
又PB平面AEC，EO平面AEC。
∴ PB平面AEC。
（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为，
又


是二面角的平面角。


二面角的大小为

4．【06北京·文】如图，是正四棱柱。
（I）求证：BD⊥平面；
（II）若二面角的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小。

【解】解法一：（Ⅰ）∵ 是正四棱柱，
∴ CC1⊥平面ABCD， ∴ BD⊥CC1，
∵ ABCD是正方形， ∴ BD⊥AC
又 ∵AC，CC1平面，且AC∩CC1=C，
∴ BD⊥平面

（II）设BD与AC相交于O，连接C1O。
∵ CC1⊥平面ABCD，BD⊥AC，
∴ BD⊥C1O，
∴ ∠C1OC是二面角的平面角，
∴ ∠C1OC=60°。
连接A1B ∵ A1C1∥AC，
∴ ∠A1C1B是异面直线BC1与AC所成角。
设BC=a，则CO=，CC1=CO，A1B=BC1= ，
。
在△A1B1C1中，由余弦定理得 ，
∴ A1C1 B=， ∴ 异面直线BC1与 AC所成的角的大小为。
解法二：
（I）建立空间直角坐标系D—xyz，如图。
设AD=a，DD1=b，则有D（0,0,0），A（a,0,0,）、B（a,a,0,）、C（0,a,0,）、C1（0,a,b,）
∴，
，
∴ ，
∴ ， 。
又∵AC，CC1平面，且AC∩CC1=C，
∴ BD⊥平面
（Ⅱ）
设BD与AC相交于O，连接C1O，则点O坐标为，
∵ ， ∴ BD⊥C1O ，又BD⊥CO
∴ ∠C1OC是二面角的平面角， ∴ ∠C1OC=60°。
∴ ， ∴ 。
∵ ，， ∴
∴ 异面直线BC1与 AC所成的角的大小为。
5．【06山东·文】 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，
与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又.
（Ⅰ）求异面直接与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）设点M在棱上，且为何值时，平面。
【解】 解法一：平面，
又，
由平面几何知识得：
（Ⅰ）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，
四边形是等腰梯形，


又 四边形是平行四边形。
是的中点，且
又， 为直角三角形，

在中，由余弦定理得：
故异面直线PD与所成的角的余弦值为。
（Ⅱ）连结，由（Ⅰ）及三垂线定理知，为二面角的平面角
，
二面角的大小为
（Ⅲ）连结，
平面平面，
又在中，，，
故时，平面
解法二： 平面
又，，
由平面几何知识得：
以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，
（Ⅰ）， ，
。 。
故直线与所成的角的余弦值为。
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，
由于，， 由 得
取，又已知平面ABCD的一个法向量，
。
又二面角为锐角， 所求二面角的大小为
（Ⅲ）设，由于三点共线，，
平面

由（1）（2）知：，。
故时，平面。
6．【06陕西·理】 如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:
（I） 直线AB分别与平面α,β所成角的大小；
（II）二面角A1－AB－B1的大小。
【解】 解法一：（Ⅰ）如图, 连接A1B,AB1,
∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l,
∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中, BB1= , AB=2,
∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
（Ⅱ）∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α。
在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B。过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，
∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°， ∴AB1=B1B=.
∴Rt△AA1B中，
A1B== = 。
由AA1·A1B=A1F·AB得
A1F== = ,
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE = = ，
∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ） 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z1)=t(,1, 1), ∴点F的坐标为(t, t,1t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1t) ·(,1,1)=0, 2t+t(1t)=0， 解得t= ，
∴点F的坐标为（,, ）, ∴=(,, ).
设E为AB1的中点,则点E的坐标为（0,, ）。 ∴=(,,).
又·=(,－,)·(,1, 1)= =0, ∴⊥,
∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE= = = = = ,
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos.

7．【06上海·理】 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【解】（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD，得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO,
于是，PO=BOtg60°=,
而底面菱形的面积为2.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.
（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.
在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－,0)，B(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)。
E是PB的中点，则E(,0,)。 于是=(,0,),=(0,,).
设与的夹角为θ，有cosθ=， θ=arccos。
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.
解法二：取AB的中点F，连接EF、DF.
由E是PB的中点，得EF∥PA,
∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）。
在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP,
于是,在等腰Rt△POA中,PA=,则EF=.
在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=. cos∠FED==
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.
8．【06上海·文】 在直三棱柱中，.
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）若与平面所成角为，求三棱锥的体积。
【解】 （1） ∵BC∥B1C1， ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)
∵∠ABC=90°,AB=BC=1， ∴∠ACB=45°,
∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.
（2）∵AA1⊥平面ABC,
∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠ACA1=45°.
∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC= ∴AA1=。
∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=。
9．【06四川·理】 如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P－DEN的体积。
【解】 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。
解法一：（Ⅰ）证明：取的中点，连结
∵分别为的中点
∵
∴面，面
∴面面 ∴面
（Ⅱ）设为的中点
∵为的中点 ∴ ∴面
作，交于，连结，则由三垂线定理得
从而为二面角的平面角。
在中，，从而
在中，
故：二面角的大小为。
（Ⅲ）
作，交于，由面得
∴面
∴在中，
∴。
方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则

∵分别是的中点
∴
（Ⅰ），取，显然面
，∴ 又面 ∴面
（Ⅱ）过作，交于，取的中点，则
设，则
又
由，及在直线上，可得:
解得
∴ ∴ 即
∴与所夹的角等于二面角的大小

故：二面角的大小为。
（Ⅲ）设为平面的法向量，则
又
∴ 即 ∴可取
∴点到平面的距离为，
∵，，
∴，
∴。
10．【06天津·理】 如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．
（1）证明//平面；
（2）设，证明平面．
【解】 本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
（Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM.
在矩形ABCD中。 ，又，
则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.
又平面CDE，且EM平面CDE，∵FO∥平面CDE
（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，
且.
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM
而FM∩CD=M， ∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.
而， 所以EO⊥平面CDF.

11．【06浙江·理】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，
， 底面，且，分别为、的中点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求与平面所成的角。
【解】 本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。
方法一：
（I）因为是的中点，，所以.
因为平面，所以，
从而平面.因为平面，
所以.
（II）取的中点，连结、，
则，
所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.
因为平面，
所以是与平面所成的角.
在中，。
故与平面所成的角是。
方法二：
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则
.
（I） 因为，所以
（II） 因为，所以，
又因为，所以平面
因此的余角即是与平面所成的角.
因为，
所以与平面所成的角为。
12．【06重庆·文】 如图（上右图），在正四棱柱中，
，为上使的点。平面交于，交的延长线于，求：
（Ⅰ）异面直线与所成角的大小；
（Ⅱ）二面角的正切值；
【解】 解法一：（Ⅰ）由为异面直线所成的角。连接.因为AE和分别是平行平面与平面的交线，所以,由此可得,再由∽得
在。

（Ⅱ）作
为二面角即二面角的平面角
在，
从而
解法二：（Ⅰ）由为异面直线
所成的角。因为和分别是平行平面与平面的交线，
所以，由此可得
从而，于是
在
（Ⅱ）在知为钝角，
作
为二面角二面角的平面角，
在,
从而。
解法三：（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系。
于是，，，，，
因为和分别是平行平面与平面的交线，所以，设，则
由，于是
故,设异面直线AD与所成的角的大小为，则，从而。
（Ⅱ）作为二面角二面角
的平面角,设则，
由得，由此得
又由共线得，从而，于是

联立（i）和（ii）得，，故
由，
得：。
13．【06重庆·理】 如图，在四棱锥中，底面ABCD，为直角，,E、F分别为、中点。
（I）试证：平面；
（II）高，且二面角的平面角大小，求的取值范围。
【解】 （I）证：由已知且为直角。故ABFD是矩形。从而。又底面ABCD，，故由三垂线定理知。在Rt中，E、F分别为PC、CD的中点，故EF//PD,从而，由此得面BEF。
（II）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在中易知EG//PA。又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD。在底面ABCD中，过G作GHBD。垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EHBD。从而为二面角E-BD-C的平面角。
设。
以下计算GH，考虑底面的平面图（如答（19）图2）。
连结GD，因。
故GH＝。在。
， 而
。因此，。
由知是锐角。故要使，必须，
解之得，上式中的取值范围为。
14．【06福建·理】 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
方法一：（I）证明：连结OC


在中，由已知可得
而
即
平面
（II） 取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，
是直角斜边AC上的中线，
异面直线AB与CD所成角的大小为
（III） 设点E到平面ACD的距离为
， ∴
在中，
而
点E到平面ACD的距离为
方法二：（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则


异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量。
又 点E到平面ACD的距离
15．【06湖北·理】 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m，
（I）试确定m，使得直线AP与平面BD D1B1所成角的正切值为；
（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。
【解】 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。
解法１：（I）


故。所以。
又.
故
在△，即.
故当时，直线。
（Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得.
可推测的中点即为所求的点。
因为，所以
又,故。
从而
解法二：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),
D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).
所以

又由的一个法向量.
设与所成的角为，
则
依题意有：，解得.
故当时，直线。
（Ⅱ）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，
则。
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于

即为的中点时，满足题设的要求。
16．【06湖北·文】 如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且。
（Ⅰ）求二面角的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求点到平面的距离。
【解】 本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。
解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AM,所以AM面，从而AM, AMNM，所以为二面角的平面角。又=，MN=,
连，得＝，
在中，由余弦定理得
。
故所求二面角的平面角的余弦值为。
（Ⅱ）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即为到平面AMN的距离。在中，＝。故点到平面AMN的距离为1。
解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，，0）,
C(0,1,0)，N (0,1,) ，A ()，所以，
，，。
因为
所以，同法可得。
故为二面角的平面角。
∴ ＝
故所求二面角—AM—N的平面角的余弦值为。
（Ⅱ）设为平面AMN的一个法向量，则由得
故可取。
设与n的夹角为，则。
所以到平面AMN的距离为。
17．【06湖南·理】 如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2, 。
（I）证明: ；
（II）求异面直线所成的角；
（III）求点到平面的距离。
【解】 解法一：（Ⅰ）连接AC、BD，设ACBD＝O
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，
所以PO平面ABCD，QO平面ABCD
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD
（II）由题设知，ABCD是正方形，所以．由（I），平面，故可分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是，A（,0,0），，

于是
从而异面直线AQ与PB所成的角是。
（Ⅲ）由（Ⅱ），点D的坐标是
，
，
设＝（x,y,z）是平面QAD的一个法向量，由

所以点P到平面的距离。
解法二：（Ⅰ）取AD的中点M，连接PM、QM。
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM。
从而AD平面PQM。
又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD。
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD。
（Ⅱ）连接AC、BD，设ACBD＝O，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P，A，Q，C四点共面。
取OC的中点N，连接PN。
因为，所以
， （或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角。
连接BN。 因为．

所以。
从而异面直线AQ与PB所成的角是。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM 。
过点P作PH⊥QM于H，则PH⊥QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离。
连结OM。因为OM=AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。
又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=。
即点P到平面QAD的距离是。
18．【06江苏】 图1
图2
在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）。
【解】[考点分析：本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力]
不妨设正三角形的边长为3，则
（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF为正三角形。
又AE=DE=1，∴EF⊥AD。
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。
又BEEF=E，∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。
（II）在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是面A1BP的斜线，又A1E⊥面BEP，
∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）
设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q，
则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。
在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o，∴△EBP为正三角形，∴BE=EP。
又A1E⊥面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=，而A1E=1，
∴在Rt△A1EQ中，，即直线A1E与面A1BP所成角为60o。
（III）在图3中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM、QF。
∵CF=CP=1，∠C=60o，∴△FCP为正三角形，故PF=1，
又PQ=BP=1， ∴PF=PQ…… ①
∵A1E⊥面BEP，EQ=EF=，∴A1F=A1Q，
∴△A1FP△A1QP，故∠A1PF=∠A1PQ…… ②
由①②及MP为公共边知△FMP△QMP，
故∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
∴∠FMQ为二面角B－A1P－F的一个平面角。
在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1， ∴A1P=，
∵MQ⊥A1P， ∴MQ=， ∴MF=。
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60o，由余弦定理得QF=，
在△FMQ中，，
∴二面角B－A1P－F的的大小为。

19．【06江西·理】如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形
（1）求证：AD^BC；
（2）求二面角B－AC－D的大小；
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD。
成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。
【解】 解法一：
（1） 方法一：
作AH^面BCD于H，连DH。
AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1
\AB＝＝BC＝AC \BD^DC
又BD＝CD，则BHCD是正方形，
则DH^ BC
\AD^BC

方法二：取BC的中点O，连AO、DO
则有AO^BC，DO^BC， \BC^面AOD
\BC^AD
（2）作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，则ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因为AB＝AC＝BC＝\M是AC的中点，且MN¤¤CD，则BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosÐBMN＝
\ ÐBMN＝arccos。
（3）设E是所求的点，作EF^CH于F，连FD。则EF¤¤AH，\EF^面BCD，ÐEDF就是ED与面BCD所成的角，则ÐEDF＝30°。设EF＝x，易得AH＝HC＝1，则CF＝x，
FD＝， \tanÐEDF＝＝＝ 解得：x＝，
则CE＝x＝1
故线段AC上存在E点，且CE＝1时，ED与面BCD成30°角。
解法二：此题也可用空间向量求解，解答略。

20．【06江西·文】 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。
（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求异面直线BE与AC所成的角；
（3）求二面角的大小。









【解】方法一：（1）取BC的中点D，连AD、OD。
，则
∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H，
则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离。
，。
∴面OBC，则。
，在直角三角形OAD中，有
（另解：由知：）
（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，∠BEM是异面直线BE与AC所成的角。
求得：，
， ∴。
（3）连结CH并延长交AB于F，连结OF、EF。
∵OC⊥面OAB， ∴OC⊥AB。 又∵OH⊥面ABC，
∴CF⊥AB ∴EF⊥AB，
则∠EFC就是所求二面角的平面角。作EG⊥CF于G，则。
在直角三角形OEF中，
（或表示为）
方法二：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。
则有A（0,0,1）、B（2,0,0）、C（0,2,0）、E（0,1,0）
设平面ABC的法向量为，则由知：，
则由知：，
取，则点O到面ABC的距离为。
（2）。
所以异面直线BE与AC所成的角。
（3）设平面EAB的法向量为，则由知；
由知：取。
由（1）知平面ABC的法向量为。

结合图形可知，二面角的大小为：。
21．【06辽宁·理】 已知正方形。、分别是、的中点,将沿折起，如图所示。记二面角的大小为。
（I） 证明平面；
（II） 若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论,并求角的余弦值。









【解】
（I） 证明：EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,
EB//FD，且EB=FD，
四边形EBFD为平行四边形。 BF//ED
平面.
（II）解法1：
如右图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G，连结GC,GD.
ACD为正三角形， AC=AD CG=GD
G在CD的垂直平分线上，
点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过G作GH垂直于ED于H，连结AH，则，所以为二面角
A—DE—C的平面角。即。
设原正方体的边长为2a，连结AF
在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，
即AEF为直角三角形，。
在RtADE中,
。
解法2：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF，在平面AEF内过点作，垂足为。
ACD为正三角形，F为CD的中点，
又因, 所以

又且

为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H，连结AH,则，所以为二面角A-DE-C的平面角。即
设原正方体的边长为2a，连结AF
在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，
即AEF为直角三角形,
在RtADE中,
。
解法3：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF，在平面AEF内过点作，垂足为。
ACD为正三角形，F为CD的中点,
又因，所以

又

为A在平面BCDE内的射影G。
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上。
过G作GH垂直于ED于H，连结AH，则，所以为二面角A-DE-C的平面角.即。
设原正方体的边长为2a，连结AF
在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，
即AEF为直角三角形,
在RtADE中, ,
。


22．【06全国Ⅰ·理】 如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，AM=MB=MN。
（Ⅰ）证明ACNB
（Ⅱ）若,求NB与平面ABC所成角的余弦值.
【解】 解法一：
（Ⅰ）
又AN为AC在平面ABN内的射影

（Ⅱ）
又已知，因此为正三角形.

，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，为NB与平面ABC所成的角.
在中，
解法二：
如图，建立空间直角坐标系. 令,
则有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）。
（Ⅰ）是、的公垂线，，

故可设C（0，1，m）。
于是
， 。
（Ⅱ）
又已知 为正三角形，。
在中，，可得，故 C（0，1，）
连结MC，做于H，设


，可得，连结BH，则，
, 又

又 。
23．【06全国Ⅱ·理】如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。
（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；
（II）设 求二面角的大小。
【解】 解法一：
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
F
（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，
又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．
∵AB＝BC，∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1， BO面ABC， 故BO⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1， ED⊥AC1， ED⊥CC1，
∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．
（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB 可知，A1ACC1为正方形，
∴A1E⊥AC1， 又由ED⊥平面ACC1A1和ED平面ADC1知
平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，
则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．
不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，
tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°．
所以二面角A1－AD－C1为60°．
解法二：
（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．
设A(a,0,0)，B(0,b,0)，B1(0,b,2c)．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
z
x
y
则C(－a,0,0)，C1(－a,0,2c)，E(0,0,c)，D(0,b,c)．
＝（0，b，0），＝(0，0，2c)． ·＝0，
∴ED⊥BB1．
又＝(－2a,0,2c)， ·＝0， ∴ED⊥AC1，
所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．
（Ⅱ）不妨设A(1,0,0)，则B(0,1,0)，C(－1,0,0)，A1(1,0,2)，
＝(－1,－1,0)，＝(－1,1,0)，＝(0,0,2)，
·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A，
∴BC⊥平面A1AD．
又E(0,0,1)，D(0,1,1)，C(－1,0,1)，＝(－1,0,－1)，＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)，
·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E， ∴ EC⊥面C1AD．
cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．
所以二面角A1－AD－C1为60°．
A
B
C
A1
V
B1
C1
24．【06山东·理】 如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设
（Ⅰ）求证直线是异面直线与的公垂线；
（Ⅱ）求点A到平面VBC的距离；
（Ⅲ）求二面角的大小。
【解】解法1：（Ⅰ）证明： ∵平面∥平面，


又∵平面⊥平面，平面∩平面，
∴⊥平面， ，
又，. 为与的公垂线.
（Ⅱ）解法1：过A作于D，
∵△为正三角形， ∴D为的中点.
∵BC⊥平面 ∴，
又， ∴AD⊥平面，
∴线段AD的长即为点A到平面的距离.
在正△中，.
∴点A到平面的距离为.
解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.
由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x， ，
即，解得.
即A到平面的距离为.
所以，到平面的距离为.
（III） 过点作于，连，由三重线定理知
是二面角的平面角。
在中，
。
。
所以，二面角的大小为arctan。
解法二：取中点连,易知底面，过作直线交于。
取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。
（I），，
，
。
又
由已知。 ，
而。
又显然相交， 是的公垂线。
（II）设平面的一个法向量， 又
由
取 得
点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。
，设所求距离为。
则
所以，A到平面VBC的距离为.
（III）设平面的一个法向量
由 取，

二面角为锐角，
所以，二面角的大小为

选择题与填空题答案
一、选择题
1．D 2．A 3．D 4．B 5．C 6．B 7．B
8．C 9．C 10．B 11．C 12．D 13．C 14．C
15．D 16．D 17．A 18．B
二、填空题
1．①③④⑤ 2．①③ 3． 4．
5． 6． 7． 8． 9． 10．①，②