高中数学人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质测试题

2-3-1直线与平面垂直的判定

一、选择题

1．下列命题中，正确的有(　　)

①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．

②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．

③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．

④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．

⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．

A．2个　 　B．3个　 　C．4个　 　D．5个

2．如果一条直线垂直于一个平面内的：

①三角形的两边；

②梯形的两边；

③圆的两条直径；

④正六边形的两条边．

则能保证该直线与平面垂直(　　)

A．①③   B．①②

C．②④   D．①④

3．下面条件中，能判定直线l⊥α的是(　　)

A．l与平面α内的两条直线垂直

B．l与平面α内的无数条直线垂直

C．l与平面α内的某一条直线垂直

D．l与平面α内的任意一条直线垂直

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是(　　)

A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．6

5．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于(　　)

A．40°   B．50°

C．90°   D．150°

6．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　)

A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α

B．m⊥b，b∥α

C．m∩b＝A，b⊥α

D．m∥b，b⊥α

7．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)

A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β

B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n

C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α

D．n∥m，n⊥α⇒m⊥α

8．(2011－2012·吉安高二检测)如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为(　　)

A．75°   B．60°

C．45°   D．30°

9．(2011－2012·武安中学高二检测)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

10．(09·四川文)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

[答案]　D

二、填空题

11．已知l，m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列说法：

①若m∥l，且l⊥α，则m⊥α；

②若m∥l，且l∥α，则m∥α；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；

④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，n∥β，则m∥l.

其中表述正确的有________．

12．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．

13．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为________．

14．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是________．

①BD∥平面CB1D1；

②AC1⊥BD；

③AC1⊥平面CB1D1；

④异面直线AD与CB1所成的角为60°.

三、解答题

15．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.

[分析]　只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，则可证AE垂直于平面PBC.

16．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角．

[分析]　找到PC在平面ABCD上的射影AC，则∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角．

17．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.

求证：BD⊥平面PAC.

18．(09·广东文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．

(1)求该安全标识墩的体积；

(2)证明：直线BD⊥平面PEG.

详解答案

1[答案]　C

[解析]　②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．

2[答案]　A

[解析]　三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.

3[答案]　D

4[答案]　B

[解析]　仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．

5[答案]　B

[解析]　根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.

6[答案]　D

[解析]　见课本P65例1.

7[答案]　D

[解析]　B中，m，n可能异面，C中n可能在α内，A中，m，n可能不相交．

8[答案]　C

9[答案]　D

[解析]　取B1D1中点O，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

∵A1B1＝B1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，

又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，

∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角，

在Rt△BOC1中，C1O＝，BC1＝＝，

∴sin∠OBC1＝.

10[解析]　设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，

又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，

又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，

所以△PAD为直角三角形．

∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，

∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.

11[答案]　①④

[解析]　①中，两条平行直线m，l中一条直线l垂直于平面α，则另一条直线m也垂直于平面α，所以①正确；②中，还可能m⊂α，所以②错误；③中，还可能l，m，n相交于一点，所以③错误；④中，根据直线与平面平行的性质定理可以证明m∥l，所以④正确．

12[答案]　菱形

[解析]　由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD.

又PC⊥BD，且PC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.

又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.

又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．

13[答案]　45°

[解析]　由PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，知PC⊥平面ACB，所以∠PMC为PM与平面ABC所成的角．

又∵M是AB的中点，∴CM＝AB＝5.

又PC＝5，∴∠PMC＝45°.

14[答案]　④

[解析]　由于BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以①正确；

由于BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，

所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.

所以②正确；

可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，

所以AC1⊥平面CB1D1，所以③正确；

由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以④错误．

15[证明]　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.

而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.

又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.

又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.

[点评]　利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和已知直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交直线；③根据判定定理得出结论．

16[解析]　如图，连接AC，因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，

所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．

在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，AC＝＝＝5.

则∠PCA＝45°，

即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.

[点评]　求斜线与平面所成的角的步骤：

(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．

(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．

(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．

17[证明]　∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥PA.

∵∠BAD和∠ABC都是Rt∠，

∴tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝，

∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.

∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC，

又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

18[解析]　(1)该安全标识墩的体积为：V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝×402×60＋402×20＝32 000＋32 000

＝64 000(cm3)

(2)如图，连接EG、HF及BD，EG与HF相交于O，连接PO.由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，

∴PO⊥HF，

又EG⊥HF，且BD∥HF∴BD⊥GE　又PO∩EG＝0，

∴BD⊥PO，∴BD⊥平面PEG.