人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精练，共5页。
[合格基础练]
一、选择题
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,2) C．1＋eq \f(\r(3),2) D．2
B [a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cs 60°＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).]
2．已知单位向量a，b的夹角为eq \f(π,3)，那么|a＋2b|＝( )
A．2eq \r(,3) B.eq \r(,7) C．2eq \r(,7) D．4eq \r(,3)
B [|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2
＝1＋4×1×1×eq \f(1,2)＋4×1＝7，∴|a＋2b|＝eq \r(,7).]
3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
D [∵a∥b，a⊥c，
∴b⊥c，
∴a·c＝0，b·c＝0，
c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.]
4．已知平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，则向量b在向量a方向上的投影为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
B [因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝|a|2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，
所以a·b＝－2，
所以向量b在向量a方向上的投影为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－2,2)＝－1.]
5．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
C [|a－2b|＝|a＋b|⇒(a－2b)2＝(a＋b)2⇒a·b＝eq \f(1,2)b2⇒cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)b2,\f(3,2)b2)＝eq \f(1,3).]
二、填空题
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ为45°，则向量a在向量b上的投影为________．
eq \f(3\r(2),2) [由已知得向量a在向量b上的投影|a|cs θ＝3×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3\r(2),2).]
7．已知向量|a|＝eq \r(,5)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq \r(,2)，则|b|＝________.
5 [|a|2＝5，|a＋b|＝5eq \r(,2)，∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5，故答案为5.]
8．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．
eq \f(π,3) [由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cs θ＝0，
|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cs θ＝0，故|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cs θ＝0，故cs θ＝eq \f(1,2)，因为 0≤θ≤π，故θ＝eq \f(π,3).]
三、解答题
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，|eq \(AB,\s\up14(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up14(→))|＝3，∠DAB＝60°.
求：(1)eq \(AD,\s\up14(→))·eq \(BC,\s\up14(→))；(2)eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(CD,\s\up14(→))；(3)eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(DA,\s\up14(→)).
[解] (1)eq \(AD,\s\up14(→))·eq \(BC,\s\up14(→))＝|eq \(AD,\s\up14(→))|2＝9；
(2)eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(CD,\s\up14(→))＝－|eq \(AB,\s\up14(→))|2＝－16；
(3)eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(DA,\s\up14(→))＝|eq \(AB,\s\up14(→))||eq \(DA,\s\up14(→))|cs(180°－60°)＝4×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－6.
10．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝eq \f(3,4).
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－eq \f(1,4)时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
[解] (1)因为(a－b)·(a＋b)＝eq \f(3,4)，
即a2－b2＝eq \f(3,4)，即|a|2－|b|2＝eq \f(3,4)，
所以|b|2＝|a|2－eq \f(3,4)＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，
故|b|＝eq \f(1,2).
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，所以cs θ＝eq \f(a·a＋2b,|a|·|a＋2b|)＝eq \f(1,2)，
又θ∈[0，π]，故θ＝eq \f(π,3).
[等级过关练]
1．已知平面向量a，b都是单位向量，若b⊥(2a－b)，则a与b的夹角等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
C [设向量a，b的夹角为θ，
∵b⊥(2a－b)，∴b·(2a－b)＝2a·b－b2＝2×1×1×cs θ－12＝0，
解得cs θ＝eq \f(1,2)，
又θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(π,3)，
即a与b的夹角为eq \f(π,3)，故选C.]
2．如图，在△ABC中，AD⊥AB，eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \r(3)eq \(BD,\s\up14(→))，|eq \(AD,\s\up14(→))|＝1，则eq \(AC,\s\up14(→))·eq \(AD,\s\up14(→))等于( )
A．2eq \r(3) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
D [eq \(AC,\s\up14(→))·eq \(AD,\s\up14(→))＝|eq \(AC,\s\up14(→))||eq \(AD,\s\up14(→))|cs∠DAC
＝|eq \(AC,\s\up14(→))|cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∠BAC－\f(π,2)))
＝|eq \(AC,\s\up14(→))|sin∠BAC＝|eq \(BC,\s\up14(→))|sin B
＝eq \r(3)|eq \(BD,\s\up14(→))|sin B＝eq \r(3)|eq \(AD,\s\up14(→))|＝eq \r(3).]
3．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|＜|a－b|；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的序号是________．
①③④ [根据向量积的分配律知①正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，
所以|a|－|b|＜|a－b|成立，③正确；
④正确．故正确命题的序号是①③④.]
4．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________.
5或－8 [因为3a＋mb＋7c＝0，
所以3a＋mb＝－7c，
所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，即9＋m2＋6ma·b＝49，
又a·b＝|a||b|cs 60°＝eq \f(1,2)，
所以m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8.]
5．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1)求a与b之间的夹角θ；
(2)求向量a在a＋b上的投影．
[解] (1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，
∴a·b＝1，∴cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,2).
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(π,3).
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，
即|a＋b|＝eq \r(7).
设a与a＋b的夹角为α，
则向量a在a＋b上的投影为
|a|cs α＝|a|×eq \f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq \f(a·a＋b,|a＋b|)
＝eq \f(a2＋a·b,|a＋b|)＝eq \f(5,\r(7))＝eq \f(5\r(7),7).