人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算一课一练，共5页。

[合格基础练]
一、选择题
1.eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))等于( )
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
B [原式＝eq \f(1,3)(a＋4b－4a＋2b)
＝eq \f(1,3)(－3a＋6b)
＝－a＋2b＝2b－a.]
2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
B [①正确．②正确．③错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b.④错误．由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n.]
3．在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up14(→))＝3a，eq \(CD,\s\up14(→))＝－5a，且|eq \(AD,\s\up14(→))|＝|eq \(BC,\s\up14(→))|，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
C [由条件可知eq \(AB,\s\up14(→))＝－eq \f(3,5)eq \(CD,\s\up14(→))，∴AB∥CD，又因为|eq \(AD,\s\up14(→))|＝|eq \(BC,\s\up14(→))|，所以四边形为等腰梯形．]
4．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up14(→))＝( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up14(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up14(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up14(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up14(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up14(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up14(→))
A [如图所示，eq \(EB,\s\up14(→))＝eq \(ED,\s\up14(→))＋eq \(DB,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up14(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up14(→))，故选A.]
5．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(CD,\s\up14(→))＝b.
A．①② B．①③ C．② D．③④
A [对于①，可解得a＝eq \f(2,7)e，b＝－eq \f(8,7)e，故a与b共线；对于②，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝eq \f(μ,λ)b，故a与b共线；对于③，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于④，梯形中没有条件AB∥CD，可能AC∥BD，故a与b不一定共线．]
二、填空题
6．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
－eq \f(1,3) [由题意可以设a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，
因为a与b不共线，
所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝3λ1，,λ＝－λ1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))即λ＝－eq \f(1,3).]
7．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若eq \(OA,\s\up14(→))－3eq \(OB,\s\up14(→))＋2eq \(OC,\s\up14(→))＝0，则eq \f(|\(AB,\s\up14(→))|,|\(BC,\s\up14(→))|)＝________.
2 [∵eq \(OA,\s\up14(→))－3eq \(OB,\s\up14(→))＋2eq \(OC,\s\up14(→))＝0，
∴eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→))＝2(eq \(OC,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→)))，∴eq \(AB,\s\up14(→))＝2eq \(BC,\s\up14(→))，
∴eq \f(|\(AB,\s\up14(→))|,|\(BC,\s\up14(→))|)＝2.]
8．已知在△ABC中，点M满足eq \(MA,\s\up14(→))＋eq \(MB,\s\up14(→))＋eq \(MC,\s\up14(→))＝0，若存在实数m使得eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→))＝meq \(AM,\s\up14(→))成立，则m＝________.
3 [∵eq \(MA,\s\up14(→))＋eq \(MB,\s\up14(→))＋eq \(MC,\s\up14(→))＝0，∴eq \(MB,\s\up14(→))＋eq \(MC,\s\up14(→))＝－eq \(MA,\s\up14(→))，
又由eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→))＝meq \(AM,\s\up14(→))得(Meq \(B,\s\up14(→))＋eq \(MC,\s\up14(→)))－2eq \(MA,\s\up14(→))＝meq \(AM,\s\up14(→))，
即－3eq \(MA,\s\up14(→))＝meq \(AM,\s\up14(→))＝－meq \(MA,\s\up14(→))，所以m＝3.]
三、解答题
9．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝eq \f(1,3)OB，DC与OA交点为E，设eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(OB,\s\up14(→))＝b，用a，b表示向量eq \(OC,\s\up14(→))，eq \(DC,\s\up14(→)).
[解] ∵AC＝BA，∴A是BC的中点，
∴eq \(OA,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up14(→))＋eq \(OC,\s\up14(→)))，
∴eq \(OC,\s\up14(→))＝2eq \(OA,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→))＝2a－b.
∴eq \(DC,\s\up14(→))＝eq \(OC,\s\up14(→))－eq \(OD,\s\up14(→))＝eq \(OC,\s\up14(→))－eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up14(→))
＝2a－b－eq \f(2,3)b＝2a－eq \f(5,3)b.
10．设两个非零向量e1，e2不共线，已知eq \(AB,\s\up14(→))＝2e1＋ke2，eq \(CB,\s\up14(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up14(→))＝2e1－e2.
问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
[解] 设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，
∵eq \(DB,\s\up14(→))＝eq \(CB,\s\up14(→))－eq \(CD,\s\up14(→))＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，eq \(AB,\s\up14(→))＝2e1＋ke2，
又∵A，B，D三点共线，∴eq \(AB,\s\up14(→))＝λeq \(DB,\s\up14(→))，
∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝－λ，,k＝4λ，))∴k＝－8，
∴存在k＝－8，使得A，B，D三点共线．
[等级过关练]
1．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
C [eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)分别表示a，b的单位向量．对于A，当a＝－b时，eq \f(a,|a|)≠eq \f(b,|b|)；对于B，当a∥b时，可能有a＝－b，此时eq \f(a,|a|)≠eq \f(b,|b|)；对于C，当a＝2b时，eq \f(a,|a|)＝eq \f(2b,|2b|)＝eq \f(b,|b|)；对于D，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时eq \f(a,|a|)≠eq \f(b,|b|).综上所述，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的条件是a＝2b，选C.]
2．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若eq \(AE,\s\up14(→))＝λeq \(AB,\s\up14(→))＋μeq \(AC,\s\up14(→))，则t＝λ－μ的最大值是________．
3 [eq \(AE,\s\up14(→))，eq \(AD,\s\up14(→))共线，则eq \(AE,\s\up14(→))＝keq \(AD,\s\up14(→))(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则eq \(AD,\s\up14(→))＝2eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→))，eq \(AE,\s\up14(→))＝2keq \(AB,\s\up14(→))－keq \(AC,\s\up14(→))，
又eq \(AE,\s\up14(→))＝λeq \(AB,\s\up14(→))＋μeq \(AC,\s\up14(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2k，,μ＝－k，))∴λ－μ＝3k≤3，故最大值为3.]