人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题,共6页。
[合格基础练]
一、选择题
1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为( )
A.0,0 B.1,1
C.3,0 D.3,4
D [因为e1与e2不共线,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x=4y-7,,10-y=2x,))解方程组得x=3,y=4.]
2.已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四个向量中,不能作为一组基底的是( )
A.{e1+e2,e1-e2} B.{3e1-2e2,4e2-6e1}
C.{e1+2e2,e2+2e1} D.{e2,e1+e2}
B [∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2),∴3e1-2e2与4e2-6e1共线,∴它们不能作为一组基底,作为基底的两向量一定不共线.故应选B.]
3.在△ABC中,点D在BC边上,且eq \(BD,\s\up14(→))=2eq \(DC,\s\up14(→)),设eq \(AB,\s\up14(→))=a,eq \(AC,\s\up14(→))=b,则eq \(AD,\s\up14(→))可用基底a,b表示为( )
A.eq \f(1,2)(a+b) B.eq \f(2,3)a+eq \f(1,3)b
C.eq \f(1,3)a+eq \f(2,3)b D.eq \f(1,3)(a+b)
C [因为eq \(BD,\s\up14(→))=2eq \(DC,\s\up14(→)),所以eq \(BD,\s\up14(→))=eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up14(→)).
所以eq \(AD,\s\up14(→))=eq \(AB,\s\up14(→))+eq \(BD,\s\up14(→))=eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up14(→))=eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up14(→))-eq \(AB,\s\up14(→)))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up14(→))=eq \f(1,3)a+eq \f(2,3)b.]
4.在△ABC中,eq \(AE,\s\up14(→))=eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up14(→)),EF∥BC,EF交AC于F,设eq \(AB,\s\up14(→))=a,eq \(AC,\s\up14(→))=b,则eq \(BF,\s\up14(→))等于( )
A.-a+eq \f(1,5)b B.a-eq \f(1,5)b
C.eq \f(2,3)a-eq \f(1,3)b D.eq \f(1,3)a+eq \f(2,3)b
A [∵eq \(AE,\s\up14(→))=eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up14(→)),∴eq \(BE,\s\up14(→))=-eq \f(4,5)eq \(AB,\s\up14(→)).
又∵EF∥BC,∴eq \(EF,\s\up14(→))=eq \f(1,5)eq \(BC,\s\up14(→))=eq \f(1,5)(eq \(AC,\s\up14(→))-eq \(AB,\s\up14(→))),
∴eq \(BF,\s\up14(→))=eq \(BE,\s\up14(→))+eq \(EF,\s\up14(→))=-eq \f(4,5)eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(1,5)(eq \(AC,\s\up14(→))-eq \(AB,\s\up14(→)))
=eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up14(→))-eq \(AB,\s\up14(→))=-a+eq \f(1,5)b.]
5.设点D为△ABC中BC边上的中点,O为AD边上靠近点A的三等分点,则( )
A.eq \(BO,\s\up14(→))=-eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up14(→))
B.eq \(BO,\s\up14(→))=eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up14(→))-eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up14(→))
C.eq \(BO,\s\up14(→))=eq \f(5,6)eq \(AB,\s\up14(→))-eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up14(→))
D.eq \(BO,\s\up14(→))=-eq \f(5,6)eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up14(→))
D [如图,D为中点,O为靠近A的三等分点,eq \(BO,\s\up14(→))=eq \(BA,\s\up14(→))+eq \(AO,\s\up14(→))=-eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up14(→))=-eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(1,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up14(→))+eq \(AC,\s\up14(→)))=-eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up14(→))=-eq \f(5,6)eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up14(→)).]
二、填空题
6.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为以a,b为基向量的线性组合,即e1+e2=________.
eq \f(2,3)a-eq \f(1,3)b [由a=e1+2e2①,b=-e1+e2②,由①+②得e2=eq \f(1,3)a+eq \f(1,3)b,代入①可求得e1=eq \f(1,3)a-eq \f(2,3)b,
所以e1+e2=eq \f(2,3)a-eq \f(1,3)b.]
7.若向量a=4e1+2e2与b=ke1+e2共线,其中e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,则k的值为________.
2 [∵向量a与b共线,
∴存在实数λ,使得b=λa,
即ke1+e2=λ(4e1+2e2)=4λe1+2λe2.
∵e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k=4λ,,1=2λ,))∴k=2.]
8.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=eq \f(1,2)AB,BE=eq \f(2,3)BC,若eq \(DE,\s\up14(→))=λ1eq \(AB,\s\up14(→))+λ2eq \(AC,\s\up14(→))(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
eq \f(1,2) [如图,由题意知,D为AB的中点,
eq \(BE,\s\up14(→))=eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up14(→)),
所以eq \(DE,\s\up14(→))=eq \(DB,\s\up14(→))+eq \(BE,\s\up14(→))
=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up14(→))
=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up14(→))-eq \(AB,\s\up14(→)))=-eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up14(→)),
所以λ1=-eq \f(1,6),λ2=eq \f(2,3),
所以λ1+λ2=-eq \f(1,6)+eq \f(2,3)=eq \f(1,2).]
三、解答题
9.如图,平行四边形ABCD中,eq \(AB,\s\up14(→))=a,eq \(AD,\s\up14(→))=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=eq \f(1,3)BC,以a,b为基底表示向量eq \(AM,\s\up14(→))与eq \(HF,\s\up14(→)).
[解] 在平行四边形ABCD中,eq \(AB,\s\up14(→))=a,eq \(AD,\s\up14(→))=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=eq \f(1,3)BC,
∴eq \(AM,\s\up14(→))=eq \(AD,\s\up14(→))+eq \(DM,\s\up14(→))=eq \(AD,\s\up14(→))+eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up14(→))=eq \(AD,\s\up14(→))+eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up14(→))=b+eq \f(1,2)a,
eq \(HF,\s\up14(→))=eq \(AF,\s\up14(→))-eq \(AH,\s\up14(→))=eq \(AB,\s\up14(→))+eq \(BF,\s\up14(→))-eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up14(→))=a+eq \f(1,3)b-eq \f(1,2)b=a-eq \f(1,6)b.
10.如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若eq \(OC,\s\up14(→))=λeq \(OE,\s\up14(→))+μeq \(OF,\s\up14(→)),其中λ,μ∈R,求λ,μ的值.
[解] 在矩形OACB中,eq \(OC,\s\up14(→))=eq \(OA,\s\up14(→))+eq \(OB,\s\up14(→)),
又eq \(OC,\s\up14(→))=λeq \(OE,\s\up14(→))+μeq \(OF,\s\up14(→))
=λ(eq \(OA,\s\up14(→))+eq \(AE,\s\up14(→)))+μ(eq \(OB,\s\up14(→))+eq \(BF,\s\up14(→)))
=λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up14(→))+\f(1,3)\(OB,\s\up14(→))))+μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up14(→))+\f(1,3)\(OA,\s\up14(→))))
=eq \f(3λ+μ,3)eq \(OA,\s\up14(→))+eq \f(3μ+λ,3)eq \(OB,\s\up14(→)),
所以eq \f(3λ+μ,3)=1,eq \f(3μ+λ,3)=1,
所以λ=μ=eq \f(3,4).
[等级过关练]
1.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足eq \(OP,\s\up14(→))=eq \(OA,\s\up14(→))+λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)+\f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)))(λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
B [eq \f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)为eq \(AB,\s\up14(→))上的单位向量,
eq \f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)为eq \(AC,\s\up14(→))上的单位向量,则eq \f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)+eq \f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)的方向为∠BAC的角平分线eq \(AD,\s\up14(→))的方向.又λ∈[0,+∞),
∴λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)+\f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)))的方向与eq \f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)+eq \f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)的方向相同.
而eq \(OP,\s\up14(→))=eq \(OA,\s\up14(→))+λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)+\f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|))),
∴点P在eq \(AD,\s\up14(→))上移动,
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.]
2.若点M是△ABC所在平面内一点,且满足:eq \(AM,\s\up14(→))=eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up14(→)).则△ABM与△ABC的面积之比为________.
1∶4 [如图,由eq \(AM,\s\up14(→))=eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up14(→))+eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up14(→))可知M,B,C三点共线,
令eq \(BM,\s\up14(→))=λeq \(BC,\s\up14(→))则eq \(AM,\s\up14(→))=eq \(AB,\s\up14(→))+eq \(BM,\s\up14(→))=eq \(AB,\s\up14(→))+λeq \(BC,\s\up14(→))=eq \(AB,\s\up14(→))+λ(eq \(AC,\s\up14(→))-eq \(AB,\s\up14(→)))=(1-λ)eq \(AB,\s\up14(→))+λeq \(AC,\s\up14(→))⇒λ=eq \f(1,4),所以eq \f(S△ABM,S△ABC)=eq \f(1,4),即△ABM与△ABC面积之比为1∶4.]
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