人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线学案及答案，共9页。学案主要包含了典例解析等内容，欢迎下载使用。
3.2.2双曲线的简单几何性质 (1)    导学案 1.掌握双曲线的简单几何性质．2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．3.根据几何条件求双曲线的标准方程.重点：运用双曲线的方程获得几何性质 难点：双曲线的渐近线及离心率的意义 双曲线的几何性质  标准方程图形 标准方程性质范围x≤-a或x≥a  y∈Ry≤-a或y≥a   x∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线    y=± y=±离心率a,b,c间的关系         c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) (1)双曲线与椭圆的六个不同点:  双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e>10<e<1a,b,c关系a2+b2=c2a2-b2=c2 (2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为     .(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.1.判断 (1)双曲线=1与=1(a>0,b>0)的形状相同. (　　)(2)双曲线=1与=1(a>0,b>0)的渐近线相同. (　　)(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直. (　　)2.圆锥曲线=1的离心率e=2,则实数m的值为(　　)A.-5　　　B.-35           C.19     D.-11 一、    问题导学类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线  (>0，>0)，的哪些几何性质，如何研究这些性质？1、范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程可得 于是，双曲线上点的坐标（ ， ）都适合不等式，所以 或; 2、对称性                           (>0，>0)，关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 .顶点是 （2）如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长。（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线4、渐近线 （1）双曲线  (>0，>0)，的渐近线方程为：（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 4、渐近线慢慢靠近 5、离心率（1）定义：e = （2）e的范围：e >1（3）e的含义：因为另外，注意到=；说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄.如果双曲线C的标准方程是  (>0，>0)，那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，那些与焦点在轴上的双曲线是有区别的？二、    典例解析例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.  由双曲线的方程研究其几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1   求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程.(1)过点P(3,-),离心率为;(2)与椭圆=1有公共焦点,且离心率e=;(3)与双曲线=1有共同渐近线,且过点(-3,2).  2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).(3)与双曲线=1共焦点的双曲线方程可设为=1(λ≠0,-b2<λ<a2).(4)与双曲线=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0).(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0). 跟踪训练2  求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为;(2)过点(2,0),与双曲线=1离心率相等. 1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为(　　) A.4 B.-4 C.- D.2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是 (　　)A.C的方程为=1B.C的离心率为C.焦点到渐近线的距离为3D.|PF|的最小值为23.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是　　　　　. 4.关于双曲线=-1,有以下说法:①实轴长为6;②双曲线的离心率是;③焦点坐标为(±5,0);④渐近线方程是y=±x;⑤焦点到渐近线的距离等于3.正确的说法是　　　　　.(把所有正确说法的序号都填上) 5.已知F为双曲线C:=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为　　　　　.    参考答案：知识梳理1.答案:(1)√　(2)×　(3)√ 2.解析:由圆锥曲线=1的离心率e=2,说明曲线是双曲线,所以m<-8,∴e==2,解得m=-35.答案:B 学习过程二、典例解析例1 解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为=1,即=1,所以a=3,b=2,c=.因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-,0),(,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e=,渐近线方程为y=±x=±x.跟踪训练1  解:把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为=1(m>0,n>0),由此可知,半实轴长a=,半虚轴长b=,c=,焦点坐标为(,0),(-,0),离心率e=,顶点坐标为(-,0),(,0),所以渐近线方程为y=± x,即y=±x.例2 解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为=1(a>0,b>0),∵e=,∴=2,即a2=b2. ①又双曲线过P(3,-),∴=1, ②由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为=1.若双曲线的焦点在y轴上,设其方程为=1(a>0,b>0),同理有a2=b2, ③=1, ④由③④得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为=1.(2)由椭圆方程=1,知半焦距为,∴焦点是F1(-,0),F2(,0).因此双曲线的焦点为(-,0),(,0).设双曲线方程为=1(a>0,b>0),由已知条件,有解得∴所求双曲线的标准方程为-y2=1. (3)设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点(-3,2)代入得λ=,∴双曲线方程为,即双曲线的标准方程为=1.跟踪训练2  解:(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),由题意知2b=8,e=,从而b=4,c=a,代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为=1.(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,故可设其方程为=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程得λ=,故所求双曲线的标准方程为-y2=1. 达标检测1.解析:由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,则双曲线方程可化为y2-=1,则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,∴b=2,∴-=b2=4,∴m=-,故选C.答案:C 2.(多选)解析:双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±x,可得c=5,焦点坐标在x轴上,所以,因为c=5,所以b=4,a=3,所以C的方程为=1,A正确;离心率为e=,B不正确;焦点到渐近线的距离为d==4,C不正确;|PF|的最小值为c-a=2,D正确.答案:AD 3.解析:令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),∴c=4,a2=b2=c2=×16=8,故等轴双曲线的方程为x2-y2=8.答案:x2-y2=84.解析:∵双曲线=-1,即=1,∴a=4,b=3,c==5,∴①实轴长为2a=8,故①错误;②双曲线的离心率是e=,故②正确;③焦点坐标为F(0,±5),故③错误;④渐近线方程是y=±x,故④正确;⑤焦点到渐近线的距离为d==3,故⑤正确.答案:②④⑤ 5.解析:根据题意,双曲线C:=1的左焦点F(-,0),所以点A(,0)是双曲线的右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点.虚轴长为6,所以|PQ|=12.双曲线图像如图.|PF|-|AP|=2a=4,①|QF|-|QA|=2a=4,②①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,∴周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.答案:32