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精品解析：2021年湖南省长沙市北雅中学九年级中考二模考试数学试题（解析版+原卷版）
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北雅中学2021年上学期第二次中考数学模拟试卷
本卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. ﹣3的绝对值是（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. - D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.
【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方的运算和平方差公式分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、 ，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了合并同类项、完全平方公式、平方差公式以及幂的乘方，掌握相关运算法则并选择合适的运算法则进行计算是解本题的关键．
3. 下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．
故选C．
【点睛】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解：
由①得x≥1，
由②得x＜3，
根据“小大大小中间找”的原则可知
不等式组的解集为1≤x＜3．
故选：A
【点睛】本题考查了求不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
5. 下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（ ）
A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图的意义可以得到解答．
【详解】解：∵正方体的左视图与主视图均为以正方体棱长为边长的正方形，∴A不符合题意；
∵倒放的圆柱体左视图为圆形，主视图为矩形，∴B符合题意；
∵圆锥的左视图与主视图均为以圆锥母线为腰、以底面直径为底的等腰三角形，∴C不符合题意；
∵球的左视图与主视图均为以球半径为半径的圆，∴D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查三视图的应用，熟练掌握三视图的意义和性质是解题关键 ．
6. 事件A：掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面；事件B：连续掷三次硬币，都是正面朝上．则（ ）
A. 事件A和事件B都是必然事件
B. 事件A是随机事件，事件B是不可能事件
C. 事件A是必然事件，事件B是随机事件
D. 事件A和事件B都是随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然事件；在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件；据此判断即可得答案．
【详解】∵掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面，也可能是背面，
∴掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件，
∵连续掷三次硬币，可能正面朝上，也可能背面朝上，
∴连续掷三次硬币，都是正面朝上是随机事件，
∴事件A和事件B都是随机事件，
故选：D．
【点睛】本题考查随机事件和必然事件，正确理解定义是解题关键．
7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程．
【详解】设索为尺，杆子为()尺，
根据题意得：()．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
8. 如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，且OA＝4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为（ ）
A. 2 B. 2 C. 2+4 D. 2+4
【答案】D
【解析】
【分析】由点A在反比例函数的图象上，设出点A的坐标，结合勾股定理可以表现出OA2＝AB2＋OB2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出AB•OB的值，根据配方法求出（AB＋OB）2，由此即可得出AB＋OB的值，结合三角形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴设点A的坐标为（n，）（n＞0）．
在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OA＝4，
∴OA2＝AB2＋OB2，
又∵AB•OB＝•n＝4，
∴（AB＋OB）2＝AB2＋OB2＋2AB•OB＝42＋2×4＝24，
∴AB＋OB＝2，或AB＋OB＝－2（舍去）．
∴C△ABO＝AB＋OB＋OA＝2＋4．
故答案为2＋4．
故选D.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、完全平方公式以及三角形的周长，解题的关键是求出AB＋OB的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用完全平方公式直接求出两直角边之和是关键．
9. 如图，直线，一直角三角板的直角顶点落在直线b上，若，则（ ）
A. 24° B. 36° C. 54° D. 64°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质和直线a∥b∥c，可以得到∠1=∠3，∠2=∠4，再根据∠1=54°，可以得到∠2的度数．
【详解】解：如图，
∵a∥b∥c，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠1=54°，
∴∠3=54°，
∵∠4+∠3=90°，
∴∠4=36°，
∴∠2=36°，
故选B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是要熟练利用平行线的性质和数形结合的思想解答．
10. 如图，△ABC中，，，，以AB上的一点O为圆心的圆与AC相切于点G，与BC交于D，E两点，连接DF，EF若，则弦DE的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接OG，OD，OE，过点O作OH⊥BE交BE于H，根据圆周角定理得，在证明四边形GCHO是矩形，得到OH=GC，最后解直角三角形即可得到答案.
【详解】解：连接OG，OD，OE，过点O作OH⊥BE交BE于H，
∵∠DOE=2∠DFE，∠DFE=∠B，
∴∠DOE=2∠B，
∵OD=OE，OH⊥DE，
∴，∠OHC=90°，DH=DE
∵AC是圆的切线，
∴OG⊥AC，即∠AGO=∠OGC=90°，
∵∠C=90°=∠OHC，
∴四边形GCHO是矩形，
∴OH=GC，
Rt△ABC中，
∴，，，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选D.
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，矩形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：_________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式求解即可得到答案.
【详解】解：．
故答案：.
【点睛】本题考查提公因式和平方差公式因式分解，掌握公式正确进行因式分解是本题的解题关键.
12. 互不相等的一组数据9，2，6，4，a中，整数a是这组数据的中位数，则该数字a为_________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据中位数的定义：一组数据中处在最中间的那个数或处在最中间的两个数的平均值，进行求解即可.
【详解】解：∵互不相等的一组数据9，2，6，4，a中，整数a是这组数据的中位数，
∴把这组数据可以按照从小到大的顺序排列为：2、4、a、6、9，
∵这些数据互不相等，且a为整数，
∴a=5，
故答案为：5.
【点睛】本题主要考查了中位数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中位数的定义.
13. 方程的解为_________．
【答案】．
【解析】
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，然后再求出x的值，最后再检验即可．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故填：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，将先将分式方程去分母转化为整式方程是解答本题的关键，最后的检验成为解答本题的易错点．
14. 为了测量教学楼的高度，某同学先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米，则此楼MF的高为________米．（结果精到0.1米，，，）．
【答案】
【解析】
【分析】在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数设未知数列方程求解即可．
【详解】解：在Rt△MBC中，
∵∠MBC＝45°，
∴MC＝BC，
在Rt△MAC中，
∵∠MAC＝30°，
∴AC＝MC，
设MC＝x，则AC＝x＝40＋x，
解得x＝20＋20≈54.64（米）
∴MF＝MC＋CF＝54.64＋1.5≈56.1（米），
故答案为：56.1．
【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
15. 若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程的一个根，则该菱形ABCD的周长为_________．
【答案】24
【解析】
【分析】解方程得出x=4，或x=6，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵x2-10x+24=0，
因式分解得：（x-4）（x-6）=0，
解得：x=4或x=6，
分两种情况：
当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；
当AB=AD=6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长=4AB=24．
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和一元二次方程的解法，解决本题的关键是要熟练掌握解一元二次方程的方法和菱形的性质.
16. 已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=b，根据A、B坐标可得A、B两点关于直线x=b对称，可得，即可得出c与b的关系，根据二次函数的图象与x轴有公共点列不等式可得出b、c的值，即可得答案．
【详解】∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线x==b，
∵抛物线经过不同两点，，
∴A、B两点关于直线x=b对称，
∴，
∴，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△==≥0，
∴≥0，即-4（b-2）2≥0，
∴b=2，
∴c=b-1=1，
∴=3，
故答案为：3
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，关键是利用A、B两点的坐标与对称轴的关系中找出b与c的联系，然后利用判别式可以解决问题．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）．
17. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值，立方根，零指数幂的计算方法进行求解即可.
【详解】解：
.
【点睛】本题主要考查了绝对值，立方根，零指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
18. 先化简，再求值：，其中a取的整数．
【答案】，
【解析】
【分析】先对括号里的分式进行通分然后利用减法计算，再根据分式除法法则计算并化简，根据a的取值范围取适当的值代入即可求解.
【详解】解：原式=，
= ，
=，
= ，
=，
∵a-1≠0且a-2≠0且a+1≠0且a+2≠0．
∴a≠±1且a≠±2．
∵a取0≤a≤2的整数，
∴a=0．
当a=0时，原式=．
【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式的通分和分式剑法和除法运算法则，并且需要注意最后a取值的确定，不仅仅是使最后化简结果的有意义，而要使在化简过程中存在的分式都有意义．
19. 在的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如A（1，5），B（0，3），C（5，3）都是格点，
（1）△ABC的形状为_______；
（2）利用尺规在BC下方画出以BC为斜边的等腰Rt△BCD（保留作图痕迹）．
【答案】（1）直角三角形；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用两点距离公式分别求出三边的长，然后利用勾股定理的逆定理判定即可得到答案；
（2）先作出线段BC的垂直平分线MN，然后连接BF与MN交于D其中F的坐标为（3，0）即可.
【详解】解：（1）∵A（1，5），B（0，3），C（5，3），
∴BC=5，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
（2）分别以B、C为圆心，以大于BC长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN，找到F（3，0），连接BF交MN延长线于D，连接CD，三角形BCD即为所求.
【点睛】本题主要考查了两点距离公式，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，作线段的垂直平分线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20. 为响应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．
（1）抽查D厂家的零件为 件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为 ．
（2）抽查C厂家的合格零件为 件，并将图1补充完整．
（3）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出A、B两个厂家同时被选中的概率．
【答案】（1）500，90°；（2）380；条形统计图补充见解析；（3）A、B两个厂家同时被选中的概率为．
【解析】
【分析】（1）算出D厂家生产零件的百分比，即可算出抽查D厂家的零件数和对应的圆心角度数；
（2）用抽取的C厂家的零件数乘以C厂家零件合格率，即可得到C厂家的合格零件数，从而能补充完整条形统计图；
（3）画 “树状图 ”，用概率公式可求．
【详解】（1）抽查D厂家零件数的百分比为：
1-35%- 20%-20%=25%．
抽查D厂家的零件为：
＝500（件）．
扇形统计图中D厂家对应的圆心角为：
＝90°．
故答案为：500；．
（2）抽取C厂家的零件数为：
（件）．
抽查C厂家的合格零件数为：
400×95%＝380（件）．
条形统计图补充为：
故答案为：380；
（3）画树状图为：
∴共有12种等可能的结果，其中A、B两个厂家同时被选中时有2种结果．
∴P（A、B两厂同时被选中）＝＝．
答：A、B两个厂家同时被选中的概率是．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、概率等知识点，熟知各种统计图相关数据的计算方法和求概率的方法是解题的关键．
21. 如图，在锐角△ABC中，，以BC为直径画⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当，时，求劣弧的长．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，由直径所对圆周角性质可得∠BDC=90°，由等腰三角形的性质得到∠CBD=∠ABD，由OD=OB，∠ODB=∠ABD，可得OD∥AB,根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质得到AD＝CD，根据直角三角形的性质得到∠ADE＝30°，求得∠A＝60°，利用勾股定理求出AE，CD，然后根据扇形弧长公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OD，BD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵AB=BC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠ABD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵BD⊥AC，AB＝BC，
∴AD＝CD，
∵AC＝4AE，
∴AD＝2AE，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OD=OC，
∴△OCD为等边三角形，
在Rt△ADE中，根据勾股定理AD2=DE2+AE2，
∵，
∴（2AE）2=（）2+AE2，
解得AE=1，
∴AD＝CD＝2AE＝2，
∴劣弧的长．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，扇形弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
22. 某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
(1)第一季度平均每月的增长率；
(2)如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
【答案】（1）20%（2）能
【解析】
【分析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据五月份的总产量=三月份的总产量×（1+增长率）2，即可求出今年五月份的总产量，再与1000进行比较即可得出结论．
【详解】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据题意得：
500（1+x）2=720
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．
答：第一季度平均每月的增长率为20%．
（2）720×（1+20%）2=1036.8（t）．
∵1036.8＞1000，∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，求出今年五月份的总产量．
23. （1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系________，位置关系________；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，，，，连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFC，，，直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
【答案】（1）相等，垂直；（2）不成立，CE=2AG，AG⊥CE，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，证明△GDA≌△EDC即可得到打啊；
（2）证明△GDA∽△EDC，即可求解；
（3）分①当点E在线段AG上时；②当G在线段AE上时；两种情况进行讨论求解即可.
【详解】解：（1）在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE，
即∠ADG=∠CDE，
∵DG=DE，DA=DC，
∴△GDA≌△EDC（SAS），
∴AG=CE，∠GAD=∠ECD，
∵∠COD=∠AOH，
∴∠AHO=∠CDO=90°，
∴AG⊥CE，
故答案为：相等，垂直；
（2）不成立，CE=2AG，AG⊥CE，理由如下：
设AD与CE交于M，
由（1）知∠ADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE，即∠ADG=∠EDC，
∵AD=2DG， AB=2DE， AD=DE，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∴，
∴△GDA∽△EDC，
∴，∠ECD=∠GAD，
∴CE=2AG，
∵∠CMD=∠AMH，
∴∠AHM=∠CDM=90°，
∴AG⊥CE；
（3）①当点E在线段AG上时，如图所示，
∵AD=2DG=6，AB=2DE=8，
∴DG=3，ED=4，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠EDG=90°，
∴，
过点D作DP⊥AG于P，
∵∠DPG=∠EDG=90°，∠DGP=∠EGD，
∴△DGP∽△EGD，
∴即，
∴，，
∴，
∴；
②当G在线段AE上时，如图所示，
过点D作DP⊥AG于P，
∠DPG=∠EDG=90°，∠DGP=∠EGD，
同理得，
由勾股定理得
∴；
综上所述：.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
24. 在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线L：y=ax2+bx（a≠0）的特征点坐标．
（1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），求出它特征点坐标；
（2）若抛物线L1：y=ax2+bx的位置如图所示：
①抛物线L1：y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为 ；
②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；
③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值．
【答案】（1）（，2）；（2）①y=﹣ax2+bx．②b=2a2．③ 或．
【解析】
【分析】（1）结合点A、B点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线L的函数解析式，再结合特征点的定义，即可得出结论；（2）①由抛物线L1：y=ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称，可将y换成﹣y，将x换成﹣x，整理后即可得出结论；②根据抛物线L2的解析式可找出它的对称轴为：x=，由抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上可得出a=，变形后即可得出结论；③结合②的结论，表示出点C、M、N三点的坐标，由两点间的距离公式可得出MN、MC、NC的长度，结合等腰三角形的性质分三种情况考虑，分别根据线段相等得出关于a的一元四次方程，解方程再结合a的范围即可得出a的值．
【详解】（1）将点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0）代入到抛物线解析式中，得
，解得： ．∴抛物线L的解析式为，
∴它的特征点为（，2）．
（2）①∵抛物线L1：y=ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称，∴抛物线L2的解析式为﹣y=a（﹣x）2+b（﹣x），即y=﹣ax2+bx．故答案为y=﹣ax2+bx．
②∵抛物线L2的对称轴为直线：x= ．∴当抛物线L1的特征点C（a，b）在抛物线L2的对称轴上时，有a=，∴a与b的关系式为b=2a2．
③∵抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，∴在抛物线L1：y=ax2+bx中，令y=0，即ax2+bx=0，解得：x1=，x2=0（舍去），即点M（，0）；在抛物线L2：y=﹣ax2+bx中，令y=0，即﹣ax2+bx=0，解得：x1=，x2=0（舍去），即点N（，0）．∵b=2a2，∴点M（﹣2a，0），点N（2a，0），点C（a，2a2）．∴MN=2a﹣（﹣2a）=4a，MC= ，NC=．因此以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，有以下三种可能：（1）MC=MN，此时有：=4a，即9a2+4a4=16a2，解得：a=0，或a=，∵a＜0，∴a=；（2）NC=MN，此时有：=4a，即a2+4a4=16a2，解得：a=0，或a=，∵a＜0，∴a=；（3）MC=NC，此时有：=，即9a2=a2，解得：a=0，又∵a＜0，∴此情况不存在．综上所述：当以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，a的值为或．
考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质；3.等腰三角形的性质；4.解一元高次方程.
25. 已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A(﹣1，0)和点B，与y轴交点为C(0，﹣3)，直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．
（1）求抛物线和直线L的解析式；
（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值；
（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，y＝﹣x﹣1；（2）；（3）(1，﹣4)或(，)或(，)
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点N（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），则MN＝﹣m2+m+2，进而求解；
（3）分CD为边、CD为对角线两种情况，利用图象平移和中点公式求解即可．
【详解】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3①，
将点A的坐标代入直线L的表达式得：0＝﹣k﹣1，解得：k＝﹣1，
故直线L的表达式为：y＝﹣x﹣1②；
（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，
将点N的纵坐标代入y＝﹣x﹣1得：m2﹣2m﹣3＝﹣x﹣1，
解得：x＝﹣m2+2m+2，
故点N（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），
则MN＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2，
∵﹣1＜0，故MN有最大值，当m＝﹣＝时，MN的最大值为；
（3）设点M（m，n），则n＝m2﹣2m﹣3③，点M′（s，﹣s﹣1），
①当CD为边时，
点C向右平移2个单位得到D，同样点M（M′）向右平移2个单位得到M′（M），
即m±2＝s且n＝﹣s﹣1④，
联立③④并解得：m＝0（舍去）或1或，
故点M的坐标为（1，﹣4）或(，)或(，)；
②当CD为对角线时，
由中点公式得：（0+2）＝（m+s）且（﹣3﹣3）＝（n﹣s﹣1）⑤，
联立③⑤并解得：m＝0（舍去）或﹣1，故点M（1，﹣4）；
综上，点M的坐标为（1，﹣4）或(，)或(，)．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题关键是熟知待定系数法、二次函数的最值与平行四边形的性质．
北雅中学2021年上学期第二次中考数学模拟试卷
本卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. ﹣3的绝对值是（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. - D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.
【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方的运算和平方差公式分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、 ，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了合并同类项、完全平方公式、平方差公式以及幂的乘方，掌握相关运算法则并选择合适的运算法则进行计算是解本题的关键．
3. 下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．
故选C．
【点睛】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解：
由①得x≥1，
由②得x＜3，
根据“小大大小中间找”的原则可知
不等式组的解集为1≤x＜3．
故选：A
【点睛】本题考查了求不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
5. 下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（ ）
A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图的意义可以得到解答．
【详解】解：∵正方体的左视图与主视图均为以正方体棱长为边长的正方形，∴A不符合题意；
∵倒放的圆柱体左视图为圆形，主视图为矩形，∴B符合题意；
∵圆锥的左视图与主视图均为以圆锥母线为腰、以底面直径为底的等腰三角形，∴C不符合题意；
∵球的左视图与主视图均为以球半径为半径的圆，∴D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查三视图的应用，熟练掌握三视图的意义和性质是解题关键 ．
6. 事件A：掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面；事件B：连续掷三次硬币，都是正面朝上．则（ ）
A. 事件A和事件B都是必然事件
B. 事件A是随机事件，事件B是不可能事件
C. 事件A是必然事件，事件B是随机事件
D. 事件A和事件B都是随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然事件；在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件；据此判断即可得答案．
【详解】∵掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面，也可能是背面，
∴掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件，
∵连续掷三次硬币，可能正面朝上，也可能背面朝上，
∴连续掷三次硬币，都是正面朝上是随机事件，
∴事件A和事件B都是随机事件，
故选：D．
【点睛】本题考查随机事件和必然事件，正确理解定义是解题关键．
7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程．
【详解】设索为尺，杆子为()尺，
根据题意得：()．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
8. 如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，且OA＝4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为（ ）
A. 2 B. 2 C. 2+4 D. 2+4
【答案】D
【解析】
【分析】由点A在反比例函数的图象上，设出点A的坐标，结合勾股定理可以表现出OA2＝AB2＋OB2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出AB•OB的值，根据配方法求出（AB＋OB）2，由此即可得出AB＋OB的值，结合三角形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴设点A的坐标为（n，）（n＞0）．
在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OA＝4，
∴OA2＝AB2＋OB2，
又∵AB•OB＝•n＝4，
∴（AB＋OB）2＝AB2＋OB2＋2AB•OB＝42＋2×4＝24，
∴AB＋OB＝2，或AB＋OB＝－2（舍去）．
∴C△ABO＝AB＋OB＋OA＝2＋4．
故答案为2＋4．
故选D.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、完全平方公式以及三角形的周长，解题的关键是求出AB＋OB的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用完全平方公式直接求出两直角边之和是关键．
9. 如图，直线，一直角三角板的直角顶点落在直线b上，若，则（ ）
A. 24° B. 36° C. 54° D. 64°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质和直线a∥b∥c，可以得到∠1=∠3，∠2=∠4，再根据∠1=54°，可以得到∠2的度数．
【详解】解：如图，
∵a∥b∥c，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠1=54°，
∴∠3=54°，
∵∠4+∠3=90°，
∴∠4=36°，
∴∠2=36°，
故选B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是要熟练利用平行线的性质和数形结合的思想解答．
10. 如图，△ABC中，，，，以AB上的一点O为圆心的圆与AC相切于点G，与BC交于D，E两点，连接DF，EF若，则弦DE的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接OG，OD，OE，过点O作OH⊥BE交BE于H，根据圆周角定理得，在证明四边形GCHO是矩形，得到OH=GC，最后解直角三角形即可得到答案.
【详解】解：连接OG，OD，OE，过点O作OH⊥BE交BE于H，
∵∠DOE=2∠DFE，∠DFE=∠B，
∴∠DOE=2∠B，
∵OD=OE，OH⊥DE，
∴，∠OHC=90°，DH=DE
∵AC是圆的切线，
∴OG⊥AC，即∠AGO=∠OGC=90°，
∵∠C=90°=∠OHC，
∴四边形GCHO是矩形，
∴OH=GC，
Rt△ABC中，
∴，，，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选D.
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，矩形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：_________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式求解即可得到答案.
【详解】解：．
故答案：.
【点睛】本题考查提公因式和平方差公式因式分解，掌握公式正确进行因式分解是本题的解题关键.
12. 互不相等的一组数据9，2，6，4，a中，整数a是这组数据的中位数，则该数字a为_________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据中位数的定义：一组数据中处在最中间的那个数或处在最中间的两个数的平均值，进行求解即可.
【详解】解：∵互不相等的一组数据9，2，6，4，a中，整数a是这组数据的中位数，
∴把这组数据可以按照从小到大的顺序排列为：2、4、a、6、9，
∵这些数据互不相等，且a为整数，
∴a=5，
故答案为：5.
【点睛】本题主要考查了中位数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中位数的定义.
13. 方程的解为_________．
【答案】．
【解析】
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，然后再求出x的值，最后再检验即可．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故填：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，将先将分式方程去分母转化为整式方程是解答本题的关键，最后的检验成为解答本题的易错点．
14. 为了测量教学楼的高度，某同学先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米，则此楼MF的高为________米．（结果精到0.1米，，，）．
【答案】
【解析】
【分析】在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数设未知数列方程求解即可．
【详解】解：在Rt△MBC中，
∵∠MBC＝45°，
∴MC＝BC，
在Rt△MAC中，
∵∠MAC＝30°，
∴AC＝MC，
设MC＝x，则AC＝x＝40＋x，
解得x＝20＋20≈54.64（米）
∴MF＝MC＋CF＝54.64＋1.5≈56.1（米），
故答案为：56.1．
【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
15. 若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程的一个根，则该菱形ABCD的周长为_________．
【答案】24
【解析】
【分析】解方程得出x=4，或x=6，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵x2-10x+24=0，
因式分解得：（x-4）（x-6）=0，
解得：x=4或x=6，
分两种情况：
当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；
当AB=AD=6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长=4AB=24．
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和一元二次方程的解法，解决本题的关键是要熟练掌握解一元二次方程的方法和菱形的性质.
16. 已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=b，根据A、B坐标可得A、B两点关于直线x=b对称，可得，即可得出c与b的关系，根据二次函数的图象与x轴有公共点列不等式可得出b、c的值，即可得答案．
【详解】∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线x==b，
∵抛物线经过不同两点，，
∴A、B两点关于直线x=b对称，
∴，
∴，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△==≥0，
∴≥0，即-4（b-2）2≥0，
∴b=2，
∴c=b-1=1，
∴=3，
故答案为：3
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，关键是利用A、B两点的坐标与对称轴的关系中找出b与c的联系，然后利用判别式可以解决问题．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）．
17. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值，立方根，零指数幂的计算方法进行求解即可.
【详解】解：
.
【点睛】本题主要考查了绝对值，立方根，零指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
18. 先化简，再求值：，其中a取的整数．
【答案】，
【解析】
【分析】先对括号里的分式进行通分然后利用减法计算，再根据分式除法法则计算并化简，根据a的取值范围取适当的值代入即可求解.
【详解】解：原式=，
= ，
=，
= ，
=，
∵a-1≠0且a-2≠0且a+1≠0且a+2≠0．
∴a≠±1且a≠±2．
∵a取0≤a≤2的整数，
∴a=0．
当a=0时，原式=．
【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式的通分和分式剑法和除法运算法则，并且需要注意最后a取值的确定，不仅仅是使最后化简结果的有意义，而要使在化简过程中存在的分式都有意义．
19. 在的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如A（1，5），B（0，3），C（5，3）都是格点，
（1）△ABC的形状为_______；
（2）利用尺规在BC下方画出以BC为斜边的等腰Rt△BCD（保留作图痕迹）．
【答案】（1）直角三角形；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用两点距离公式分别求出三边的长，然后利用勾股定理的逆定理判定即可得到答案；
（2）先作出线段BC的垂直平分线MN，然后连接BF与MN交于D其中F的坐标为（3，0）即可.
【详解】解：（1）∵A（1，5），B（0，3），C（5，3），
∴BC=5，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
（2）分别以B、C为圆心，以大于BC长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN，找到F（3，0），连接BF交MN延长线于D，连接CD，三角形BCD即为所求.
【点睛】本题主要考查了两点距离公式，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，作线段的垂直平分线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20. 为响应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．
（1）抽查D厂家的零件为 件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为 ．
（2）抽查C厂家的合格零件为 件，并将图1补充完整．
（3）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出A、B两个厂家同时被选中的概率．
【答案】（1）500，90°；（2）380；条形统计图补充见解析；（3）A、B两个厂家同时被选中的概率为．
【解析】
【分析】（1）算出D厂家生产零件的百分比，即可算出抽查D厂家的零件数和对应的圆心角度数；
（2）用抽取的C厂家的零件数乘以C厂家零件合格率，即可得到C厂家的合格零件数，从而能补充完整条形统计图；
（3）画 “树状图 ”，用概率公式可求．
【详解】（1）抽查D厂家零件数的百分比为：
1-35%- 20%-20%=25%．
抽查D厂家的零件为：
＝500（件）．
扇形统计图中D厂家对应的圆心角为：
＝90°．
故答案为：500；．
（2）抽取C厂家的零件数为：
（件）．
抽查C厂家的合格零件数为：
400×95%＝380（件）．
条形统计图补充为：
故答案为：380；
（3）画树状图为：
∴共有12种等可能的结果，其中A、B两个厂家同时被选中时有2种结果．
∴P（A、B两厂同时被选中）＝＝．
答：A、B两个厂家同时被选中的概率是．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、概率等知识点，熟知各种统计图相关数据的计算方法和求概率的方法是解题的关键．
21. 如图，在锐角△ABC中，，以BC为直径画⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当，时，求劣弧的长．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，由直径所对圆周角性质可得∠BDC=90°，由等腰三角形的性质得到∠CBD=∠ABD，由OD=OB，∠ODB=∠ABD，可得OD∥AB,根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质得到AD＝CD，根据直角三角形的性质得到∠ADE＝30°，求得∠A＝60°，利用勾股定理求出AE，CD，然后根据扇形弧长公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OD，BD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵AB=BC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠ABD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵BD⊥AC，AB＝BC，
∴AD＝CD，
∵AC＝4AE，
∴AD＝2AE，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OD=OC，
∴△OCD为等边三角形，
在Rt△ADE中，根据勾股定理AD2=DE2+AE2，
∵，
∴（2AE）2=（）2+AE2，
解得AE=1，
∴AD＝CD＝2AE＝2，
∴劣弧的长．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，扇形弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
22. 某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
(1)第一季度平均每月的增长率；
(2)如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
【答案】（1）20%（2）能
【解析】
【分析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据五月份的总产量=三月份的总产量×（1+增长率）2，即可求出今年五月份的总产量，再与1000进行比较即可得出结论．
【详解】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据题意得：
500（1+x）2=720
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．
答：第一季度平均每月的增长率为20%．
（2）720×（1+20%）2=1036.8（t）．
∵1036.8＞1000，∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，求出今年五月份的总产量．
23. （1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系________，位置关系________；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，，，，连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFC，，，直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
【答案】（1）相等，垂直；（2）不成立，CE=2AG，AG⊥CE，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，证明△GDA≌△EDC即可得到打啊；
（2）证明△GDA∽△EDC，即可求解；
（3）分①当点E在线段AG上时；②当G在线段AE上时；两种情况进行讨论求解即可.
【详解】解：（1）在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE，
即∠ADG=∠CDE，
∵DG=DE，DA=DC，
∴△GDA≌△EDC（SAS），
∴AG=CE，∠GAD=∠ECD，
∵∠COD=∠AOH，
∴∠AHO=∠CDO=90°，
∴AG⊥CE，
故答案为：相等，垂直；
（2）不成立，CE=2AG，AG⊥CE，理由如下：
设AD与CE交于M，
由（1）知∠ADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE，即∠ADG=∠EDC，
∵AD=2DG， AB=2DE， AD=DE，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∴，
∴△GDA∽△EDC，
∴，∠ECD=∠GAD，
∴CE=2AG，
∵∠CMD=∠AMH，
∴∠AHM=∠CDM=90°，
∴AG⊥CE；
（3）①当点E在线段AG上时，如图所示，
∵AD=2DG=6，AB=2DE=8，
∴DG=3，ED=4，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠EDG=90°，
∴，
过点D作DP⊥AG于P，
∵∠DPG=∠EDG=90°，∠DGP=∠EGD，
∴△DGP∽△EGD，
∴即，
∴，，
∴，
∴；
②当G在线段AE上时，如图所示，
过点D作DP⊥AG于P，
∠DPG=∠EDG=90°，∠DGP=∠EGD，
同理得，
由勾股定理得
∴；
综上所述：.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
24. 在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线L：y=ax2+bx（a≠0）的特征点坐标．
（1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），求出它特征点坐标；
（2）若抛物线L1：y=ax2+bx的位置如图所示：
①抛物线L1：y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为 ；
②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；
③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值．
【答案】（1）（，2）；（2）①y=﹣ax2+bx．②b=2a2．③ 或．
【解析】
【分析】（1）结合点A、B点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线L的函数解析式，再结合特征点的定义，即可得出结论；（2）①由抛物线L1：y=ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称，可将y换成﹣y，将x换成﹣x，整理后即可得出结论；②根据抛物线L2的解析式可找出它的对称轴为：x=，由抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上可得出a=，变形后即可得出结论；③结合②的结论，表示出点C、M、N三点的坐标，由两点间的距离公式可得出MN、MC、NC的长度，结合等腰三角形的性质分三种情况考虑，分别根据线段相等得出关于a的一元四次方程，解方程再结合a的范围即可得出a的值．
【详解】（1）将点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0）代入到抛物线解析式中，得
，解得： ．∴抛物线L的解析式为，
∴它的特征点为（，2）．
（2）①∵抛物线L1：y=ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称，∴抛物线L2的解析式为﹣y=a（﹣x）2+b（﹣x），即y=﹣ax2+bx．故答案为y=﹣ax2+bx．
②∵抛物线L2的对称轴为直线：x= ．∴当抛物线L1的特征点C（a，b）在抛物线L2的对称轴上时，有a=，∴a与b的关系式为b=2a2．
③∵抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，∴在抛物线L1：y=ax2+bx中，令y=0，即ax2+bx=0，解得：x1=，x2=0（舍去），即点M（，0）；在抛物线L2：y=﹣ax2+bx中，令y=0，即﹣ax2+bx=0，解得：x1=，x2=0（舍去），即点N（，0）．∵b=2a2，∴点M（﹣2a，0），点N（2a，0），点C（a，2a2）．∴MN=2a﹣（﹣2a）=4a，MC= ，NC=．因此以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，有以下三种可能：（1）MC=MN，此时有：=4a，即9a2+4a4=16a2，解得：a=0，或a=，∵a＜0，∴a=；（2）NC=MN，此时有：=4a，即a2+4a4=16a2，解得：a=0，或a=，∵a＜0，∴a=；（3）MC=NC，此时有：=，即9a2=a2，解得：a=0，又∵a＜0，∴此情况不存在．综上所述：当以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，a的值为或．
考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质；3.等腰三角形的性质；4.解一元高次方程.
25. 已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A(﹣1，0)和点B，与y轴交点为C(0，﹣3)，直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．
（1）求抛物线和直线L的解析式；
（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值；
（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，y＝﹣x﹣1；（2）；（3）(1，﹣4)或(，)或(，)
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点N（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），则MN＝﹣m2+m+2，进而求解；
（3）分CD为边、CD为对角线两种情况，利用图象平移和中点公式求解即可．
【详解】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3①，
将点A的坐标代入直线L的表达式得：0＝﹣k﹣1，解得：k＝﹣1，
故直线L的表达式为：y＝﹣x﹣1②；
（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，
将点N的纵坐标代入y＝﹣x﹣1得：m2﹣2m﹣3＝﹣x﹣1，
解得：x＝﹣m2+2m+2，
故点N（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），
则MN＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2，
∵﹣1＜0，故MN有最大值，当m＝﹣＝时，MN的最大值为；
（3）设点M（m，n），则n＝m2﹣2m﹣3③，点M′（s，﹣s﹣1），
①当CD为边时，
点C向右平移2个单位得到D，同样点M（M′）向右平移2个单位得到M′（M），
即m±2＝s且n＝﹣s﹣1④，
联立③④并解得：m＝0（舍去）或1或，
故点M的坐标为（1，﹣4）或(，)或(，)；
②当CD为对角线时，
由中点公式得：（0+2）＝（m+s）且（﹣3﹣3）＝（n﹣s﹣1）⑤，
联立③⑤并解得：m＝0（舍去）或﹣1，故点M（1，﹣4）；
综上，点M的坐标为（1，﹣4）或(，)或(，)．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题关键是熟知待定系数法、二次函数的最值与平行四边形的性质．
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