2021年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学二模试卷（解析版+原卷版）

这是一份2021年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学二模试卷（解析版+原卷版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学二模试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．计算（﹣6）÷（﹣）的结果是（　　）
A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2
2．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2
4．如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
5．如图，将图形用放大镜放大，应该属于（　　）

A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
6．如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（　　）

A．140° B．50° C．60° D．40°
7．某校饭堂随机抽取了100名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（　　）

A．套餐一 B．套餐二 C．套餐三 D．套餐四
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（　　）

A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3
9．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600
B．2500（1+x%）2＝3600
C．2500x2＝3600
D．2500（1+x）2＝3600
10．已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（　　）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．预计到2025年，中国5G用户将超过460000000，将460000000用科学记数法表示为　 　．
12．如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为　 　cm（结果保留π）．

13．分式方程＝1的解为　 　．
14．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则的值是 　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为　 　．

16．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端点D与点C，B在同一直线上，已知楼房AC＝32米，CD＝16米，则荷塘的宽BD为 　 　米．

三、解答题（第17-19题每小题6分，第20-21题每小题6分，第22-23题每小题6分，第24-25题每小题6分，共72分）
17．计算：2sin60°+（﹣）﹣2+（π﹣2020）0+|2﹣|．
18．先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．
19．如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，在AD上截取AF＝BE．连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在▱ABCD内找一点P，使∠APB＝90°．（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）

20．我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

（1）本次随机调查的学生人数为　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
21．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．

22．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切于点A，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）求证：DE2＝EB•EA；
（3）若BE＝1，，求线段AD的长度．

24．定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线称为这两个点的“幸福直线”．
（1）若点A（0，2），幸福直线：y＝x，求点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标，并求出直线AB的解析式；
（2）若点C（1，m）在反比例函数（x＞0）图象上，若点C关于幸福直线l的对称点D也在此反比例函数图象上，请求出此时△CDO的面积；
（3）平面直角坐标系中，点E的坐标是（0，2），在x轴上任取一点F，过点F做x轴的垂线l1，点E和点F的幸福直线为l2，直线l1，l2的交点为P，当F点在x轴上运动时，此时点P在一函数图象上运动；
①求点P所在函数图象的解析式；
②若直线EP交点P所在的函数图象于点Q，求证：∠POE＝∠QOE．
25．已知二次函数的图象经过点A（2，0），B（﹣4，0），C（0，4），点F为二次函数第二象限内抛物线上一动点，FH⊥x轴于点H，交直线BC于点D，以FD为直径的圆⊙M与BC交于点E．

（1）求这个二次函数的关系式；
（2）当三角形EFD周长最大时．求此时F点坐标及三角形EFD的周长；
（3）在（2）的条件下，点N为⊙M上一动点，连接BN，点Q为BN的中点，连接HQ，求HQ的取值范围．


参考答案
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．计算（﹣6）÷（﹣）的结果是（　　）
A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2
解：（﹣6）÷（﹣）＝（﹣6）×（﹣3）＝18．
故选：C．
2．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：D．
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2
解：A、a2+b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、2a﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
C、a2﹣b2能运用平方差公式分解，故此选项正确；
D、﹣a2﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选：C．
4．如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左上有1个正方形．
故选：A．
5．如图，将图形用放大镜放大，应该属于（　　）

A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：B．
6．如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（　　）

A．140° B．50° C．60° D．40°
解：∵∠α＝40°，
∴∠1＝∠α＝40°，
∵a∥b，
∴∠β＝∠1＝40°．
故选：D．

7．某校饭堂随机抽取了100名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（　　）

A．套餐一 B．套餐二 C．套餐三 D．套餐四
解：根据条形统计图可知：学生最喜欢的套餐种类是套餐一，
故选：A．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（　　）

A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3
解：由图象可得，
当y1＞y2时，自变量x的取值范围为1＜x＜3，
故选：D．
9．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600
B．2500（1+x%）2＝3600
C．2500x2＝3600
D．2500（1+x）2＝3600
解：依题意得2008年的投入为2500（1+x）2，
∴2500（1+x）2＝3600．
故选：D．
10．已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（　　）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
解：函数的对称轴为：x＝h，
①当h≥3时，
x＝3时，y取得最小值，即（3﹣h）2＝1，
解得：h＝2或4（舍去2），
故h＝4；
②当h≤1时，
x＝1时，y取得最小值，即（1﹣h）2＝1，
解得：h＝0或2（舍去2），
故h＝0；
③当1＜h＜3时，
x＝h取得最小值，不成立；
综上，h＝0或4，
故选：B．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．预计到2025年，中国5G用户将超过460000000，将460000000用科学记数法表示为　4.6×108　．
解：将460 000 000用科学记数法表示为：4.6×108．
故答案为：4.6×108．
12．如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为　18π　cm（结果保留π）．

解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，
∴的长＝＝18π（cm），
故答案为：18π．
13．分式方程＝1的解为　x＝2　．
解：两边都乘以x+4，得：3x＝x+4，
解得：x＝2，
检验：x＝2时，x+4＝6≠0，
所以分式方程的解为x＝2，
故答案为：x＝2．
14．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则的值是 　　．
解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，
＝＝＝﹣，
故答案为﹣．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为　5　．

解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝6，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∵AE＝EB，
∴DE＝AB＝5，
故答案为5．
16．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端点D与点C，B在同一直线上，已知楼房AC＝32米，CD＝16米，则荷塘的宽BD为 　（）　米．

解：由题意知，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝32米，
∵tan∠ABC＝tan30°＝，
∴BC＝＝＝32（米），
∵CD＝16米，
∴BD＝BC﹣CD＝（32﹣16）（米）．
答：荷塘的宽BD为（32﹣16）米，
故答案为：（32﹣16）．
三、解答题（第17-19题每小题6分，第20-21题每小题6分，第22-23题每小题6分，第24-25题每小题6分，共72分）
17．计算：2sin60°+（﹣）﹣2+（π﹣2020）0+|2﹣|．
解：原式＝2×+9+1+2﹣
＝+12﹣
＝12．
18．先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．
解：•（+1）
＝
＝
＝，
由不等式组，得﹣1≤x＜1，
∵x是不等式组的整数解，
∴x＝﹣1，0，
∵当x＝﹣1时，原分式无意义，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝﹣．
19．如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，在AD上截取AF＝BE．连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在▱ABCD内找一点P，使∠APB＝90°．（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE，
∵AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BA＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图所示：点P即为所求：

20．我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

（1）本次随机调查的学生人数为　60　人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
解：（1）18÷30%＝60（人），
故答案为：60；
（2）60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），补全条形统计图如图所示：

（3）800×＝200（人），
答：该校七年级800名学生中选择“厨艺”劳动课程的有200人；
（4）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有12种可能出现的结果，其中选中“园艺、编织”的有2种，
∴P（园艺、编织）＝＝．
21．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．

解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴ME，NE是△PDC的中位线，
∴ME∥PC，EN∥PD，
∴四边形PMEN是平行四边形；

（2）当AP＝5时，
在Rt△PAD和Rt△PBC中，
，
∴△PAD≌△PBC，
∴PD＝PC，
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴NE＝PM＝PD，ME＝PN＝PC，
∴PM＝ME＝EN＝PN，
∴四边形PMEN是菱形；

（3）四边形PMEN可能是矩形．
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°
设PA＝x，PB＝10﹣x，
DP＝，CP＝．
DP2+CP2＝DC2
16+x2+16+（10﹣x）2＝102
x2﹣10x+16＝0
x＝2或x＝8．
故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形．
22．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，
依题意，得：，
解得：20＜m≤22．
又∵m为正整数，
∴m可以为21，22．
∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切于点A，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）求证：DE2＝EB•EA；
（3）若BE＝1，，求线段AD的长度．

解：（1）∵BD∥OC，
∴∠DBO＝∠COA，∠ODB＝∠COD，
∵OB＝OD，
∴∠DBO＝∠ODB，
∴∠COA＝∠COD，
在△COA和△COD中，
，
∴△COA≌△COD（SAS），
∴∠CAO＝∠CDO，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAO＝90°＝∠CDO，
即OD⊥EC，
∵OD是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）∵EC是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
即∠EDB+∠ODB＝90°，
又∴AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠ODB＝∠OBD，
∴∠EDB＝∠EAD，
又∵∠E＝∠E，
∴△EBD∽△EDA，
∴＝，
即DE2＝AE•BE；
（3）∵∠ACO+∠COA＝90°，
∠BAD+∠OBD＝90°，
而∠OBD＝∠ODB＝∠COD＝∠COA，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACO，
由△EBD∽△EDA，
∴＝＝tan∠BAD＝，
∵BE＝1，
∴DE＝2，
由DE2＝AE•BE得，
22＝1×AE，
∴AE＝4，
∴AB＝4﹣1＝3，
设BD＝a，则AD＝2a，由勾股定理得，
BD2+AD2＝AB2，
即a2+（2a）2＝32，
解得a＝，
∴AD＝2a＝．
24．定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线称为这两个点的“幸福直线”．
（1）若点A（0，2），幸福直线：y＝x，求点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标，并求出直线AB的解析式；
（2）若点C（1，m）在反比例函数（x＞0）图象上，若点C关于幸福直线l的对称点D也在此反比例函数图象上，请求出此时△CDO的面积；
（3）平面直角坐标系中，点E的坐标是（0，2），在x轴上任取一点F，过点F做x轴的垂线l1，点E和点F的幸福直线为l2，直线l1，l2的交点为P，当F点在x轴上运动时，此时点P在一函数图象上运动；
①求点P所在函数图象的解析式；
②若直线EP交点P所在的函数图象于点Q，求证：∠POE＝∠QOE．
解：（1）如图1，

∵y＝x是一三象限的夹角平分线，
∴∠AOC＝45°，
∵∠BOC＝∠AOC＝45°，
∴B点落在x轴上，
∵OB＝OA＝2，
∴B（2，0），
设AB的解析式是y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+2；
（2）如图2，

作CE⊥y轴于E，作DF⊥x轴于F，作CG⊥OF于G，
∵m＝＝4，
∴C（1，4），
∵y＝对称是y＝x，
∴∠COM＝∠DOM，
∵∠EOM＝∠FOM＝45°，
∴∠COE＝∠DOF，
又OC＝OC，
∠CEO＝∠DFO＝90°，
∴△COE≌△DOF（AAS），
∴OF＝OE＝4，DF＝CE＝1，
∴D（4，1），
S△COD＝S△COG+S梯形CGFD﹣S△DOF
＝S梯形CGFD
＝
＝
＝；
（3）①由题意得，
l2是EF的垂直平分线，
∴PE＝PF，
设P（x，y），
∴y2＝x2+（y﹣2）2，
∴y＝x2+1；
②如图3，

作PA⊥x轴于A，作QB⊥x轴于B，作QD⊥y轴于D，
设P（x，+1），
∵PE2＝x2+（x2﹣1）2
＝（+1）2，
PA2＝（+1）2，
∴PE＝PA，
同理：QE＝QB，
∴，
，
∵PC∥DQ，
∴△PEC∽△QED，
∴，
∴，
∴tan∠POE＝tan∠QOE，
∴∠POE＝∠QOE．
25．已知二次函数的图象经过点A（2，0），B（﹣4，0），C（0，4），点F为二次函数第二象限内抛物线上一动点，FH⊥x轴于点H，交直线BC于点D，以FD为直径的圆⊙M与BC交于点E．

（1）求这个二次函数的关系式；
（2）当三角形EFD周长最大时．求此时F点坐标及三角形EFD的周长；
（3）在（2）的条件下，点N为⊙M上一动点，连接BN，点Q为BN的中点，连接HQ，求HQ的取值范围．
解：（1）设二次函数的关系式为y＝ax2+bx+c，
将A（2，0），B（﹣4，0），C（0，4）代入得：
，解得，
∴二次函数的关系式为y＝﹣x2﹣x+4；
（2）∵B（﹣4，0），C（0，4）
∴直线BC为y＝x+4，∠BCO＝45°，
由已知可得：∠FDE＝∠BCO＝45°，∠FED＝90°，
∴△FED是等腰直角三角形，
∴DE＝EF＝DF，
∴三角形EFD的周长为DE+EF+DF＝（+1）DF，三角形EFD周长最大即是DF最大，
设F（t，﹣t2﹣t+4），﹣4＜t＜0，则D（t，t+4），
∴DF＝﹣t2﹣t+4﹣t﹣4＝﹣（t+2）2+2，
∵﹣＜0，
∴t＝﹣2时，DF最大为2，
此时F（﹣2，4），三角形EFD周长最大值为（+1）DF＝2+2；
（3）取BM的中点M'，以M'Q为半径作⊙M'，直线M'H交⊙M'于R、T，如图：

由（2）知：F（﹣2，4），DF＝2，
∴MF＝MD＝1，
∴M（﹣2，3），H（﹣2，0），
∵B（﹣4，0），
∴BM的中点M'（﹣3，），
∴HM'＝＝，
当N在⊙M上运动时，BN的中点Q在⊙M'上运动，且⊙M'的半径是⊙M半径的，即M'R＝M'T＝MF＝，
∴当Q运动到R时，HQ取得最大值HR＝HM'+M'R＝，
当Q运动到T时，HQ取得最小值HT＝HM'﹣M'T＝，
∴HQ的取值范围是≤HQ≤．