专练09（综合提升题---解答题，10道）-2021-2022学年八年级数学上学期期末考点必练（含解析）

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（1）若点C的横坐标为﹣3，求点B的坐标；
（2）若OA平分∠BAC，BE＝6，求BCE的面积；
（3）求∠DOE的度数．
【答案】（1）（0，3）（2）9（3）45°
【分析】
（1）作CF⊥y轴于F点，证明△BFC≌△AOB，得到CF=3=BO，故可求解；
（2）证明△ABO≌△AEO得到BO=EO=3，再得到CF=BO=3，故可求出BCE的面积；
（3）过D点作DH⊥x轴，DG⊥y轴，证明△BGD≌△AHD，得到DG=DH，得到OD平分∠HOG，故可求解．
【详解】
（1）如图，作CF⊥y轴于F点，
∴∠BCF+∠CBF=90°
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBF=90°
∴∠BCF=∠ABO
∵AB＝BC，∠BFC=∠AOB=90°
∴△BFC≌△AOB（AAS）
∴CF=BO
∵点C的横坐标为﹣3，
∴CF=3=BO
∴点B的坐标为（0，3）；
（2）∵OA平分∠BAC，
∴∠BAO=∠EAO，
∵AO⊥BE
∴∠AOB=∠AOE=90°
又∵AO=AO
∴△ABO≌△AEO（ASA）
∴BO=EO=BE=3
由（1）可得CF=BO=3
∴BCE的面积为；
（3）如图，过D点作DH⊥x轴，DG⊥y轴
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC中点，
∴AD=BD=，BD⊥AC
∴∠GBD+∠BED=∠HAD+∠BED
∴∠GBD=∠HAD
∵∠BGD=∠AHD=90°，BD=AD
∴△BGD≌△AHD（AAS）
∴DG=DH
∴OD平分∠HOG
∵∠HOG=90°
∴∠DOE=∠HOG=45°．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明三角形全等．
2．（2021·广东香洲·八年级期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．
（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C．B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿AEC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？．
【答案】（1）BP=（9-2t）cm；BQ=5tcm；（2）当t=s时，△PBQ为等边三角形；（3）t=6s
【分析】
（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；
（2）由等边三角形的性质可知BQ=BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=9cm，
∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，
∴CP=2t，
则PB=BC-CP=（9-2t）cm；
∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，
∴BQ=5tcm；
（2）若△PBQ为等边三角形，
则有BQ=BP，即9-2t=5t，
解得t=，
所以当t=s时，△PBQ为等边三角形；
（3）设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得：5t-2t=18，
解得t=6，
则6s时，两点第一次相遇．
当t=6s时，P走过得路程为2×6=12cm，
而9＜12＜18，即此时P在AB边上，
则两点在AB上第一次相遇．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，是一道探究型动点题，解决此类型题先假设结论成立，看是否导致矛盾，还是达到与已知条件相符，从而确定探究的结论是否成立，对于动点问题，常常化动为静，寻找特殊位置，从而解决问题，例如此题的第三问，应理解为追及问题，找出等量关系Q运动的路程-P运动的路程=2倍的等边三角形边长是解题的关键．
3．（2021·广东·东莞市沙田实验中学八年级期中）（1）如图1，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F是OC上的另一点，连接DF、EF．求证：OP垂直平分DE；
（2）如图1，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F是OC上的另一点，连接DF、EF．求证：DF=EF
（3）如图2，若∠PDO+∠PEO=180°，PD=PE，求证：OP平分∠AOB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）根据HL证明Rt△OPD≌Rt△OPE，得OD=OE可得结论；
（2）根据SAS证明△ODF≌△OEF即可；
（3）先过点P作PM⊥OA，PN⊥OE，证明△PMD≌△PNE，根据全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），
∴OD=OE，
∴OP垂直平分DE，
（2）由（1）知Rt△OPD≌Rt△OPE
∴OD＝OE，
在△ODF和△OEF中，
，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF＝EF．
（3）过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，
∵∠PDO+∠PEO=180°，∠PDO+∠PDM=180°
∴∠PDM=∠PEN;
在△PMD和△PNE中，
∴△PMD≌△PNE（AAS）
∴PM=PN；
∵PM⊥OA，PN⊥OB,
∴OP平分∠AOB
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等知识点的应用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．（2021·广东·珠海市第九中学八年级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G．
（1）求证：AD是EF的垂直平分线；
（2）若△ABC的面积为8，AB＝3，AC＝5，求ED的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）DE＝2．
【分析】
（1）先利用角平分线的性质得到DE＝DF，则可根据“HL”判断≌，所以AE＝AF，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论；
（2）根据三角形面积公式，利用S△ABD+S△ACD＝S△ABC得到•AB•DE+•AC•DF＝8，然后利用DE＝DF和AB=3，AC＝5可求出DE的长．
【详解】
（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在和中，
，
∴≌（HL），
∴AE＝AF，
又∵DE＝DF，
∴AD是EF的垂直平分线；
（2）解：∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴•AB•DE+•AC•DF＝8，
∵DE＝DF，AB＝3，AC＝5，
∴×DE×3+×DE×5＝8，
∴DE＝2．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，根据三角形面积建立方程，熟练掌握各性质及判定定理进行推理论证是解题的关键．
5．（2021·广东·广州市真光中学八年级期中）如图，已知ABC
（1）用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于点E，交CD于点F（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AE⊥CD于F，证明：AC＝AD；
（3）在（1）（2）的条件下，连接DE，若∠CAB＝30°，∠B＝55°，求∠BED的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据尺规作图-左角平分线的一般步骤：以点为圆心，任意长度为半径作弧，与交于两点，然后分别以两点为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交BC于点E，交CD于点F；
（2）证明即可；
（3）根据以及可得，然后根据三角形内角和求出，然后证明，可得，
然后根据即可得出答案．
【详解】
解：（1）如图为所作：
（2）∵AE⊥CD，
∴,
在和中，
,
∴，
∴；
（3）如图：
∵，∠CAB＝30°，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵∠CAB＝30°，∠B＝55°，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了尺规作图－角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．
6．（2021·广东·深圳市高级中学八年级开学考试）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；0
【分析】
根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式等计算中括号内的、再利用多项式除以单项式可化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：原式
，
，
当，时，原式．
【点睛】
本题考查的知识点是整式的混合运算—化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算—化简求值．
7．（2020·广东·深圳市福田区外国语学校八年级期中）请回答下列问题：
（1）先化简，再求值：（1－）÷，其中x的值从2，3，4中选取；
（2）解分式方程：－＝1
【答案】（1），x取4，值为2；（2）x＝－
【分析】
（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将x的值代入计算即可；
（2）根据解分式方程的步骤计算即可．
【详解】
（1）原式==
∵分式分母不能为0，
∴x取4，原式=2．
（2）方程两边同乘，得：
，
，
化简得：，x=，
经检验，x=是方程根，
∴x=．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值、解分式方程，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
8．（2021·广东·珠海市九洲中学八年级期中）我们将完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，可以得到一些新的等式，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]等等．
请利用这些变形后的等式解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝15，（a+b）2＝3，求ab的值；
（2）若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值；
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若2AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】（1）-6；（2）255；（3）5
【分析】
（1）将a2+b2=15，（a+b）2=3代入题干中的推导公式就可求得结果；
（2）设25-x=a，x-10=b，则（25-x）2+（x-10）2=a2+b2=（a+b）2-2ab，再代入计算即可；
（3）设AD=AC=a，BE=BC=b，则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）-a²-b²=[（a+b）²-（a²+b²）]= ×2ab=ab=5．
【详解】
解：（1）∵a2+b2=15，（a+b）2=3，
∴ab=[（a+b）2﹣（a2+b2）]=×（3-15）=-6；
（2）设25-x=a，x-10=b，
由（a+b）2=a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2=（a+b）2-2ab，
∴（25-x）2+（x-10）2
=[（25-x）+（x-10）]²-2（25-x）（x-10）
=15²-2×（-15）
=225+30
=255；
（3）设AD=AC=a，BE=BC=b，
∵2AC•BC＝10，
∴AC•BC＝5，
则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）-（a²+b²）
=[（a+b）²-（a²+b²）]
=×2ab
=ab
=5．
【点睛】
此题考查了完全平方公式的变式应用能力，关键是能数形结合应用完全平方公式．
9．（2021·广东·深圳实验学校八年级期中）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不大于A类摊位数量的3倍，建造这90个摊位的总费用不超过10850元．则共有哪几种建造方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案的总费用最少？最少费用是多少？
【答案】（1）每个A类摊位的占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；（2）共有3种建造方案，方案1：建造23个A类摊位，67个B类摊位；方案2：建造24个A类摊位，66个B类摊位；方案3：建造25个A类摊位，65个B类摊位；（3）方案1的总费用最少，最少费用是10630元
【分析】
（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平方米，根据题意列分式方程解决问题；
（2）设建造m个A类摊位，则建造（90﹣m）个B类摊位，根据题意，列一元一次不等式组解决问题；
（3）根据（2）的结论，分别计算各方案的费用，再比较即可得出费用最少的方案以及最少费用．
【详解】
解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平方米，
依题意得：＝×，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝5．
答：每个A类摊位的占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米．
（2）设建造m个A类摊位，则建造（90﹣m）个B类摊位，
依题意得：
解得：≤m≤25．
又∵m为整数，
∴m可以取23，24，25，
∴共有3种建造方案，
方案1：建造23个A类摊位，67个B类摊位；
方案2：建造24个A类摊位，66个B类摊位；
方案3：建造25个A类摊位，65个B类摊位．
（3）方案1所需总费用为40×5×23+30×3×67＝10630（元），
方案2所需总费用为40×5×24+30×3×66＝10740（元），
方案3所需总费用为40×5×25+30×3×65＝10850（元）．
∵10630＜10740＜10850，
∴方案1的总费用最少，最少费用是10630元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式和方程是解题的关键．
10．（2021·广东罗湖·八年级期末）某地有甲、乙两家口罩厂，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的1.5倍，并且乙厂单独完成60万只口罩的生产比甲厂单独完成多用5天．
（1）求甲、乙厂每天分别可以生产多少万只口罩？
（2）已知甲、乙两厂生产口罩每天的生产加工费用分别是1500元和1200元，现有300万只口罩的生产任务，甲厂单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙厂单独完成，如果总加工费不超过78000元，那么甲厂至少加工了多少天？
【答案】（1）甲6万只，乙4万只；（2）40天
【分析】
（1）设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，根据题意列出分式方程即可求解；
（2）设甲厂加工了m天，则乙厂加工了天，根据总加工费用不超过78000元，列出不等式，解不等式即可．
【详解】
解：（1）设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，
依题意得：，
解得：
经检验是原方程的根，且符合题意，
∴，
答：甲厂每天能生产口罩6万只，乙厂每天能生产口罩4万只；
（2）设甲厂加工了m天，则乙厂加工了天，
依题意得：，
解得：，
答：甲厂至少加工了40天．
【点睛】
本题考查分式方程与不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出方程或不等式求解．