2020年湖南省长沙市雨花区广益实验中学中考数学二模试卷解析版

这是一份2020年湖南省长沙市雨花区广益实验中学中考数学二模试卷解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年湖南省长沙市雨花区广益实验中学中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共27分）
1．（3分）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．（m+2）2＝m2+4
C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5
3．（3分）下列防疫的图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形为（　　）
A．正八边形 B．正九边形 C．正十边形 D．正十一边形
5．（3分）下列命题中，逆命题为真命题的是（　　）
A．实数a、b，若a＝b，则|a|＝|b|
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若ac2＞bc2，则a＞b
6．（3分）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等实数根，则c的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
7．（3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角α为30°，则A，B两地之间的距离为（　　）

A．400米 B．米 C．1600米 D．800米
8．（3分）温州市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多0.2万棵，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，根据题意可列方程（　　）
A．＝5 B．
C．＝5 D．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝30，点C在⊙O上，∠A＝24°，则的长为（　　）

A．9π B．10π C．11π D．12π
10．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．4
11．（3分）下列3个图形中，阴影部分的面积为1的个数为（　
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有（　　）个

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）分解因式：ax2﹣6axy+9ay2＝　 　．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点P（m2+1，﹣3）关于原点对称点在第　 　象限．
15．（3分）计算﹣的结果是　 　．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，若∠DCB＝40°，则∠A的度数为　 　°．

17．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为　 　．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心为（3，0），半径为，若直线l：y＝kx﹣1与⊙A相切，则k的值是　 　．

三、解答题（本题共8个小题，共66分）
19．（6分）计算﹣3tan30°+（π﹣3.14）0+（）﹣1．
20．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．
21．（8分）某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）：
七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98
八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98
整理得到如下统计表
年级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
七年级
98
94
a
m
7.6
八年级
98
n
94
93
6.6
根据以上信息，完成下列问题
（1）填空：a＝　 　；m＝　 　；n＝　 　；
（2）两个年级中，　 　年级成绩更稳定；
（3）七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为B1，B2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．

23．（9分）随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位及养老建筑不断增加．
（1）该市的养老床位数从2017年底的2万个增长到2019年底的2.88万个，求该市这两年（从2017年底到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）该市某社区今年准备新建一养老中心，如果计划赡养200名老人，建筑投入平均5万元/人，且计划赡养的老人每增加5人，建筑投入平均减少1000元/人，那么新建该养老中心需申报的最高建筑投入是多少？
24．（9分）如图，直线l：y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA的一个动点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，⊙A交AB于点D，连接OD并延长交⊙A于点E，连接CD．
（1）当AC＝2时，证明：△OBD是等边三角形；
（2）当△OCD∽△ODA时，求⊙A的半径r；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OD•DE的最大值．

25．（10分）如图，已知函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与一次函数y＝mx+5（m＜0）的图象相交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A作AD⊥x轴于点D，连接AO，△AOD的面积为2．
（1）求k的值及x1＝4时m的值；
（2）记[x]表示为不超过x的最大整数，例如：[1.9]＝1，[2]＝2，设t＝OD•DC，若﹣＜m＜﹣，求[m2t]值．
（3）已知线段AB的垂直平分线经过点O，P（x0，y0）是函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上一动点，令z＝my0+9；当x2≤x0≤x1时，不等式n+1004≤z2﹣3mz+2015+9m＜n﹣2总是成立的，求n的取值范围．

26．（10分）如图，点A是直线y＝kx（k＞0）上一点，且在第一象限，点B，C分别是x，y正半轴上的点，且满足∠BAC＝90°．
（1）如图1，当k＝1时，求证：AB＝AC；
（2）如图2，记∠AOB＝α，
①根据所学，不难得到tanα＝　 　，（用含k的式子表示）；
②若k＝，求的值；
（3）如图3，若k＝，连接BC，OA⊥BC，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，B三点，与直线BC相交于点B，D，连接OD，△OBD的面积为，求抛物线的函数表达式．


2020年湖南省长沙市雨花区广益实验中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共27分）
1．（3分）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质解答即可．
【解答】解：由，可得：2y＝5（x﹣2y），
解得：5x＝12y，
所以的值为，
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．（m+2）2＝m2+4
C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝m2+4m+4，不符合题意；
C、原式＝x3y6，不符合题意；
D、原式＝a5，符合题意．
故选：D．
3．（3分）下列防疫的图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
4．（3分）若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形为（　　）
A．正八边形 B．正九边形 C．正十边形 D．正十一边形
【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成36°n，列方程可求解．
【解答】解：设所求正多边形边数为n，
则36n＝360，
解得n＝10．
故正多边形的边数是10．
故选：C．
5．（3分）下列命题中，逆命题为真命题的是（　　）
A．实数a、b，若a＝b，则|a|＝|b|
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若ac2＞bc2，则a＞b
【分析】写出各个命题的逆命题，判断即可．
【解答】解：A、实数a、b，若a＝b，则|a|＝|b|逆命题是若|a|＝|b|，则a＝±b，是假命题；
B、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；
D、若ac2＞bc2，则a＞b的逆命题是若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题；
故选：B．
6．（3分）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等实数根，则c的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【分析】根据判别式的意义得到△＝42﹣4×4c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等实数根，
∴△＝42﹣4×4c＝0，
∴c＝1，
故选：B．
7．（3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角α为30°，则A，B两地之间的距离为（　　）

A．400米 B．米 C．1600米 D．800米
【分析】根据题意可得，CA⊥AB，AC＝800，∠B＝30°，进而可求A，B两地之间的距离．
【解答】解：根据题意可知：
CA⊥AB，AC＝800，∠B＝30°，
∴AB＝＝800（米）．
答：A，B两地之间的距离为800米．
故选：D．
8．（3分）温州市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多0.2万棵，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，根据题意可列方程（　　）
A．＝5 B．
C．＝5 D．
【分析】根据“原计划所用时间﹣实际所用时间＝5天”可列方程．
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，根据题意可列方程＝5，
故选：A．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝30，点C在⊙O上，∠A＝24°，则的长为（　　）

A．9π B．10π C．11π D．12π
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质求出∠OCA，根据三角形内角和定理求出∠AOC，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝24°，
∴∠AOC＝180°﹣24°×2＝132°，
∴的长＝＝11π，
故选：C．

10．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．4
【分析】首先设黄球的个数为x个，根据题意，利用概率公式即可得方程：＝，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝4．
故选：D．
11．（3分）下列3个图形中，阴影部分的面积为1的个数为（　
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】①分别求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
②把x＝2分别代入两个函数解析式求出对应的y，然后利用三角形的面积公式即可求解；
③首先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：①y＝x﹣，
当x＝0，y＝﹣，
当y＝0，x＝，
y＝﹣x+1，
当x＝0，y＝1，
∴S阴影部分＝×（1+）×＝1；
②当x＝2，y＝＝，y＝﹣＝﹣
∴S阴影部分＝×（）×2＝1；
③y＝﹣x2﹣1，
当x＝0，y＝﹣1，
当y＝0，x＝±1，
S阴影部分＝×1×2＝1；
故阴影部分的面积为1的有 ①②③．
故选：A．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有（　　）个

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，
∴abc＜0，所以①结论错误；
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②结论正确，
9a﹣b+c＝9a﹣4a﹣5a＝0，故③结论正确，
∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故结论④正确，
若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，
设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，
所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）分解因式：ax2﹣6axy+9ay2＝　a（x﹣3y）2　．
【分析】首先提公因式a，然后利用完全平方公式分解．
【解答】解：原式＝a（x2﹣6xy+9y2）
＝a（x﹣3y）2．
故答案是：a（x﹣3y）2．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点P（m2+1，﹣3）关于原点对称点在第　二　象限．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质结合每个象限内点的坐标特点得出答案．
【解答】解：点P（m2+1，﹣3）关于原点对称点为（﹣m2﹣1，3），
∵﹣m2﹣1＜0，
∴（﹣m2﹣1，3）在第二象限．
故答案为：二．
15．（3分）计算﹣的结果是　　．
【分析】先把分式化成同分母，再根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案．
【解答】解：﹣＝+＝；
故答案为：．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，若∠DCB＝40°，则∠A的度数为　50　°．

【分析】根据直角三角形和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∵BD＝CD＝AB，
∴∠B＝∠DCB＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝50°，
故答案为：50．
17．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为　16　．

【分析】根据平行四边形的性质可得BO＝DO＝BD，进而可得OE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出BC＝2OE，再根据平行四边形的性质可得AB＝CD，从而可得△BCD的周长＝△BEO的周长×2．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴BO＝DO＝BD，BD＝2OB，
∴O为BD中点，
∵点E是AB的中点，
∴AB＝2BE，BC＝2OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴CD＝2BE．
∵△BEO的周长为8，
∴OB+OE+BE＝8，
∴BD+BC+CD＝2OB+2OE+2BE＝2（OB+OE+BE）＝16，
∴△BCD的周长是16，
故答案为16．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心为（3，0），半径为，若直线l：y＝kx﹣1与⊙A相切，则k的值是　﹣或2　．

【分析】如图，直线l：y＝kx﹣1与⊙A相切于点M、N，根据切线的性质得AM⊥BM，AN⊥BN，再求出B点坐标，AB＝，BM＝，则可判断△ABM为等腰直角三角形，延长AM到M′使MM′＝AM，延长AN到N′使NN′＝AN，则△ABM′和△ABN′都为等腰直角三角形，利用旋转的性质可求出M′（1，﹣4），N′（﹣1，2），则根据线段中点坐标公式得到M（2，﹣2），N（1，1），然后把M、N点坐标分别代入y＝kx﹣1求出对应的k的值．
【解答】解：如图，当x＝0时，y＝kx﹣1＝﹣1，则B（0，﹣1），
直线l：y＝kx﹣1与⊙A相切于点M、N，则AM⊥BM，AN⊥BN，
∵A（3，0），B（0，﹣1），
∴AB＝＝，
∴BM＝＝，
∴△ABM为等腰直角三角形，
延长AM到M′使MM′＝AM，延长AN到N′使NN′＝AN，则△ABM′和△ABN′都为等腰直角三角形，
∴BM′可由BA绕B点顺时针旋转90°得到，BN′可由BA绕B点逆时针旋转90°得到，
∴M′（1，﹣4），N′（﹣1，2），
∴M（2，﹣2），N（1，1），
把M（2，﹣2）代入y＝kx﹣1得2k﹣1＝﹣2，解得k＝﹣；
把N（1，1）代入y＝kx﹣1得k﹣1＝1，解得k＝2，
∴k的值为﹣或2．
故答案为﹣或2．

三、解答题（本题共8个小题，共66分）
19．（6分）计算﹣3tan30°+（π﹣3.14）0+（）﹣1．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2﹣3×+1+2
＝1﹣．
20．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．
【分析】先分别解两个不等式，再找出两个解集的公共部分，得出不等式组的解集，然后根据这个解集找出整数解．
【解答】解：
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集是：﹣1＜x≤2，
∴满足不等式组的整数解为0，1，2．
21．（8分）某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）：
七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98
八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98
整理得到如下统计表
年级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
七年级
98
94
a
m
7.6
八年级
98
n
94
93
6.6
根据以上信息，完成下列问题
（1）填空：a＝　94　；m＝　92　；n＝　94　；
（2）两个年级中，　八　年级成绩更稳定；
（3）七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为B1，B2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．
【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解；
（2）根据方差的意义进行判断；
（3）画树状图展示所有12等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）a＝94；m＝92，
n＝（88+93+93+93+94+94+95+95+97+98）＝94；
（2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，
所以八年级的成绩稳定；
故答案为94，92，94；八；
（3）列表得：

乙
甲
A1
A2
B1
B2
A1

（A1，A2）
（A1，B1）
（A1，B2）
A2
（A2，A1）

（A2，B1）
（A2，B2）
B1
（B1，A1）
（B1，A2）

（B1，B2）
B2
（B2，A1）
（B2，A2）
（B2，B1）

共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，
∴P（这两人分别来自不同年级的概率）＝＝．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．

【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
由图形可知，∠A2C2B2＝∠ACB，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），
故AD＝2，CD＝6，AC＝＝2，
∴sin∠ACB＝＝＝，
即sin∠A2C2B2＝．

23．（9分）随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位及养老建筑不断增加．
（1）该市的养老床位数从2017年底的2万个增长到2019年底的2.88万个，求该市这两年（从2017年底到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）该市某社区今年准备新建一养老中心，如果计划赡养200名老人，建筑投入平均5万元/人，且计划赡养的老人每增加5人，建筑投入平均减少1000元/人，那么新建该养老中心需申报的最高建筑投入是多少？
【分析】（1）设该市这两年（从2017年底到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据该市2017年底及2019年底拥有的养老床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设在200人的基础上增加m人时，建筑总投入为w元，根据总投入＝人数×人均投入，即可得出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该市这两年（从2017年底到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，
依题意，得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年（从2017年底到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）设在200人的基础上增加m人时，建筑总投入为w元，
依题意，得：w＝（200+m）（50000﹣200m）＝﹣200（m﹣25）2+10125000，
∵﹣200＜0，
∴当m＝25时，w取得最大值，最大值为10125000．
答：新建该养老中心需申报的最高建筑投入为10125000元．
24．（9分）如图，直线l：y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA的一个动点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，⊙A交AB于点D，连接OD并延长交⊙A于点E，连接CD．
（1）当AC＝2时，证明：△OBD是等边三角形；
（2）当△OCD∽△ODA时，求⊙A的半径r；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OD•DE的最大值．

【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由锐角三角函数可求∠BAO＝30°，可得AB＝2OB＝4，∠ABO＝60°，可得BD＝BO，可得结论；
（2）如图1，过点D作DH⊥AO于H，由相似三角形的性质可得∠ODC＝∠OAB＝30°，由等腰三角形的性质可求∠DOH＝∠ACD﹣∠ODC＝45°，由直角三角形的性质可求DH＝r，AH＝DH＝r，DH＝OH＝r，即可求解；
（3）通过证明△ODG∽△HDE，可得，可得OD•DE＝GD•DH＝（3﹣AD）•2AD＝﹣2（AD﹣）2+，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）∵直线l：y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（2，0），点B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝30°，
∴AB＝2OB＝4，∠ABO＝60°，
∵AC＝AD＝2，
∴BD＝2＝BO，
且∠ABO＝60°，
∴△BDO是等边三角形；
（2）如图1，过点D作DH⊥AO于H，

∵△OCD∽△ODA，
∴∠ODC＝∠OAB＝30°，
∵AC＝AD，∠BAO＝30°，
∴∠ACD＝75°，
∴∠DOH＝∠ACD﹣∠ODC＝45°，
∵DH⊥AO，∠DAO＝30°，
∴DH＝r，AH＝DH＝r，
∵DH⊥AO，∠DOH＝45°，
∴DH＝OH＝r，
∵AO＝OH+AH＝2，
∴2＝r+r，
∴r＝6﹣2；
（3）如图2，连接EH，过点O作OG⊥AB于G，

∵OG⊥AB，∠BAO＝30°，
∴OG＝AO＝，AG＝OG＝3，
∴GD＝3﹣AD，
∵DH是直径，
∴∠DEH＝90°＝∠OGD，
又∵∠ODG＝∠HDE，
∴△ODG∽△HDE，
∴，
∴OD•DE＝GD•DH＝（3﹣AD）•2AD＝﹣2（AD﹣）2+，
∴当AD＝时，OD•DE的最大值为．
25．（10分）如图，已知函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与一次函数y＝mx+5（m＜0）的图象相交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A作AD⊥x轴于点D，连接AO，△AOD的面积为2．
（1）求k的值及x1＝4时m的值；
（2）记[x]表示为不超过x的最大整数，例如：[1.9]＝1，[2]＝2，设t＝OD•DC，若﹣＜m＜﹣，求[m2t]值．
（3）已知线段AB的垂直平分线经过点O，P（x0，y0）是函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上一动点，令z＝my0+9；当x2≤x0≤x1时，不等式n+1004≤z2﹣3mz+2015+9m＜n﹣2总是成立的，求n的取值范围．

【分析】（1）利用点A坐标表示出△AOD的面积，再结合x1y1＝k可求得k的值，根据A的横坐标可得纵坐标，代入一次函数可得m的值；
（2）先根据一次函数与x轴的交点确定OC的长，表示DC的长，从而可以表示t，联立方程组，可得：mx12+5x1＝4，再根据m的取值计算m2•t，最后利用新定义可得结论；
（3）首先确定m的值，A，B两点的坐标，把问题转化为解不等式组即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（x1，y1），
∴OD＝x1，AD＝y1，
∴S△AOD＝OD•AD＝x1y1＝2，
∴k＝x1y1＝4，
∴反比例函数解析式为：y＝，
当x1＝4时，y1＝1，
∴A（4，1），
将点A坐标代入y＝mx+5中，
得4m+5＝1，
∴m＝﹣1；
（2）∵
∴mx2+5x﹣4＝0，
∵A的横坐标为x1，
∴mx12+5x1＝4，
当y＝0时，mx+5＝0，
∴x＝﹣，
∵OC＝﹣，OD＝x1，
∴m2•t＝m2•（OD•DC），
＝m2•x1（﹣﹣x1），
＝m（﹣5x1﹣mx12），
＝﹣4m，
∵﹣＜m＜﹣，
∴5＜﹣4m＜6，
∴[m2•t]＝5；

（3）由题意线段AB的垂直平分线经过点O，
∴点A，点B关于直线y＝x对称，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，可得A（4，1），B（1，4），
∴m＝﹣1，1≤x0≤4，
∴z＝﹣y0+9＝﹣（﹣x0+5）+9＝x0+4，
∵n+1004≤z2﹣3mz+2015+9m＜n﹣2总是成立的，
即n+1004≤﹣（x0+4）2+3（x0+4）+2015﹣9＜n﹣2总是成立的，
即n﹣1010≤﹣（x0﹣2）2+1＜n﹣2016总是成立的，
∵1≤x0≤4，
∴0≤﹣（x0﹣2）2+1≤1，
解不等式：n﹣1010≤0＜n﹣2016，得到2016＜n≤2020，
解不等式：n﹣1010≤1＜n﹣2016，得到2017＜n≤2022，
综上所述，满足条件的n的值为：2017＜n≤2020．

26．（10分）如图，点A是直线y＝kx（k＞0）上一点，且在第一象限，点B，C分别是x，y正半轴上的点，且满足∠BAC＝90°．
（1）如图1，当k＝1时，求证：AB＝AC；
（2）如图2，记∠AOB＝α，
①根据所学，不难得到tanα＝　k　，（用含k的式子表示）；
②若k＝，求的值；
（3）如图3，若k＝，连接BC，OA⊥BC，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，B三点，与直线BC相交于点B，D，连接OD，△OBD的面积为，求抛物线的函数表达式．

【分析】（1）证明Rt△ANC≌△Rt△AMB，即可求解；
（2）①根据（1）知，tanα＝k，即可求解；②证明Rt△ANC∽Rt△AMB，则＝＝tan∠AOB＝k＝；
（3）证明C、O、A、B四点共圆和Rt△CBO△≌Rt△CBA（HL），得到△OAB为等腰三角形，求出点A（，），将点A的坐标代入抛物线表达式得到＝a（）（﹣m），而△OBD的面积＝×OB×yD＝×m×（+2m）＝，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点A作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点M、N，

当k＝1时，直线OA的表达式为y＝x，则AM＝AN，
∵∠CAN+∠NAB＝90°，∠NAB+∠BAM＝90°，
∴∠CAN＝∠BAM，
∴Rt△ANC≌△Rt△AMB，
∴AC＝AB；

（2）①根据（1）知，tanα＝k，
故答案为k；
②如图1，过点A作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点M、N，
同理可得：∠CAN＝∠BAM，
∴Rt△ANC∽Rt△AMB，
∴＝＝tan∠AOB＝k＝，
故的值为；

（3）设直线OA交BC于点E，连接AB，过点A作AM⊥x轴于点M，

在Rt△BOC中，∵∠EOB+∠COE＝90°，∠COE+∠ECO＝90°，
∴∠ECO＝∠EOB＝α，
同理∠ACE＝∠EAB，
∵∠COB＝∠CAB＝90°，
∴C、O、A、B四点共圆，则BC是圆的直径，
故∠OCB＝∠OAB＝α，
∴∠AOB＝∠OAB＝α，
∴OB＝AB，
∴△ACO为等腰三角形，
∵AB＝OB，BC＝BC，
∴Rt△CBO≌Rt△CBA（HL），
∴CO＝CA，
而OB＝AB，
故BC⊥OA，
∵tanα＝k＝，则sinα＝，cosα＝，
设点B（m，0）（m＞0），
在Rt△BCE中，OE＝OB＝m，则OE＝OBcosα＝，则OA＝2OE＝，
在Rt△AOM中，AM＝OAsinα＝，
同理可得：OM＝，故点A（，），
∵tanα＝k＝＝tan∠AOB，则tan∠EBO＝2，
故设直线BD的表达式为y＝﹣2（x﹣m）①，
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝ax（x﹣m）②，
将点A的坐标代入上式得：＝a（）（﹣m）③，
联立①②并整理得：ax2+（2﹣am）x﹣2m＝0，
则xBxD＝﹣，即m•xD＝﹣，解得xD＝﹣，
当x＝﹣时，yD＝﹣2（x﹣m）＝+2m，
则△OBD的面积＝×OB×yD＝×m×（+2m）＝④，
联立③④并解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x．