精品解析：2020年湖南省长沙市中雅学校中考二模数学试题（解析版+原卷版）

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1.下列实数中，为无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
无理数一般是包括开方开不尽的数、含π的数或式子以及看似循环实际不循环的小数，由此对各选项加以分析判断即可.
【详解】∵无理数一般是包括开方开不尽的数、含π的数或式子以及看似循环实际不循环的小数，
∴不是无理数，A选项错误；
，故不是无理数，B选项错误；
不是无理数，C选项错误；
，故是无理数，D选项正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查了无理数的判断，熟练掌握相关概念是解题关键.
2.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则、完全平方公式、积的乘方运算和幂的乘方运算以及同底数幂的乘法法则对各选项加以计算判断即可.
【详解】A：，故选项错误；
B：，故选项错误；
C：，故选项正确；
D：，故选项错误；
故选：C.
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算、完全平方公式、积的乘方运算和幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.
3.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形概念对各图形分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；
B、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；
C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
D、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.已知函数，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数表达式可得： 从而可得答案．
【详解】解：由题意得：
即：

故选A．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，同时考查二次根式与分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．
5.△ABC在下列条件下，不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用勾股定理的逆定理判断A、D选项，用直角三角形各角之间的关系判断B、C选项．
【详解】解：A、∵b2=a2-c2，∴b2+c2=a2，故本选项正确；
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，即3x+4x+5x=180°，解得，x=15°，
∴5x=5×15°=75°＜90°，故本选项错误．
C、∵∠A=∠B-∠C，∴∠B=∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠C）=180°，即∠A+∠C=90°，故本选项正确；
D、∵a2：b2：c2=1：3：2，∴令a2=x，则b2=2x，c2=3x，
∵x+2x=3x，∴a2+c2=b2，故本选项正确；
故选B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断．
6.下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 射击运动员射击一次，命中靶心
B. 一个游戏的中奖概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖
C. 雨后见彩虹
D. 任意画一个三角形，其外角和是360°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；
B、一个游戏的中奖概率是，则做10次这样的游戏不一定会中奖是随机事件，不符合题意；
C、雨后见彩虹是随机事件，不符合题意；
D、任意画一个三角形，其外角和是360°是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7.空心六棱柱螺母按如图所示位置摆放，则它的左视图正确的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
左视图是从物体左面看，所得到的图形．
【详解】从左面看，是一列两个矩形，每个矩形的中间有一条横向的虚线，
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
8.如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=32°，则∠BED的度数是（ ）
A. 32°B. 16°C. 49°D. 64°
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCE，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC=∠EBC，
∴∠BCE=∠EBC=32°，
∴∠BED=∠C+∠EBC=64°，
故选D．
【点睛】本题考查平行线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
9.如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD＝8，则OE长为（ ）
A. 3B. 5C. 2.5D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可得OB=OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AO=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，
又∵点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
在Rt△AOD中，AB==5，
则OE=AD=．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．
10.能说明命题“若 a≥b，则 a＞0”是假命题的反例是（ ）
A. a＝﹣2，b＝﹣3B. a＝﹣2，b＝1C. a＝﹣2，c＝﹣1D. a＝2，b＝1。
【答案】A
【解析】
【分析】
写出a、b的值满足a≥b，不满足a＞0即可．
【详解】解：因为a=-2，b=-3时，满足a≥b，不满足a＞0，
所以a=-2，b=-3可作为说明命题“若a≥b，则a＞0”是假命题的反例．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11.如图：某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角＝，则飞机A与指挥台B的距离为（ ）
A. 1200mB. 1200mC. 1200mD. 2400m
【答案】D
【解析】
【详解】解：根据平行线的性质可得：∠B=∠α=30°，
根据Rt△ABC的三角函数可得：sin∠B==，
则AB=2AC=2×1200=2400（m）．
故选：D．
考点：三角函数的应用．
12.如图，在中，为边上一点．若为的中点，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
取AP中点G，连接MG，设AG=x，则PG=x，BG=3-x，根据三角形的中位线的性质得到，由平行线的性质得到；接下来再根据相似三角形的性质得到，将相关数据代入得到方程，解方程得到AG的长，由AB=3可得结果．
【详解】如图所示，取AP中点G，连接MG，
设AG=x，则PG=x，BG=3-x，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵AB=3，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质综合，准确做出辅助线，找到相似三角形是关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13.若分式的值为零，则的值是____________．
【答案】1
【解析】
【分析】
当分式的分母不为0，分子为0时，分式的值为0，由此进一步对原式的分子分母加以分析即可.
【详解】∵分式的值为零，
∴且，
即：且或，
∴的值是1，
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查了分式值为0的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
14.不等式组的解集是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出原不等式组中各个不等式的解集，由此进一步分析得出答案即可.
【详解】由不等式可得：，
由不等式可得：，
∴原不等式组的解集为：，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握相关方法是解题关键.
15.边长为6的正六边形的边心距为_____．
【答案】
【解析】
试题分析：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，
∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=1，
在△OAM中，由勾股定理得：OM==
考点:正多边形和圆
16.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为，将放大为，已知，则点的坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为，当位似图形在位似中心同侧时，那么位似图形对应点的坐标的比等于，所以把点的横纵坐标分别乘以即可得的坐标．
【详解】解：由题意得：
又与位似，且两个图形在位似中心的同侧，

故答案为：．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．注意位似图形与位似中心的位置对对应点的坐标的影响．
17.一个不透明的布袋里装有个白球，个黑球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出个球．不放回．再摸出个球，则两次摸到的球都是白球的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
画出树形图，即可求出两次摸到球都是白球的概率．
【详解】解：画树状图如下，
所有等可能的情况有6种，其中两次都是白球的有2种，
∴两次都为白球的概率为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（1，m），B（4，n）两点．则不等式的解集为______．
【答案】，
【解析】
【分析】
将不等式变形为，根据A、B两点的横坐标和图象，直观得出一次函数值大于或等于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
【详解】解：由，则
实际上就是一次函数的值大于或等于反比例函数值时自变量x的取值范围，
根据图象可得，其解集有两部分，即：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图象和性质，利用数形结合思想，通过图象直接得出一次函数的值大于或等于反比例函数值时自变量x的取值范围是解题关键．
三、解答题（共8个小题，共66分）
19.计算：．
【答案】
【解析】
【分析】
先用零次幂、负整数次幂、特殊角的三角函数值以及绝对值的知识对原式化简，然后计算即可．
详解】解：
=
=．
【点睛】本题考查了零次幂、负整数次幂、特殊角的三角函数值以及绝对值的知识等知识，灵活运用相关知识对原式进行化简是解答本题的关键．
20.先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【解析】
【分析】
先利用完全平方公式、平方差公式以及整式的运算对原式进行化简，然后代入求值即可．
【详解】原式=
=
=，
当，时，．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确运用整式的运算法则进行化简是解答本题的关键．
21.某校组织全校学生进行了一次“社会主义核心价值观”知识竞赛，赛后随机抽取了各年级部分学生成绩进行统计，制作如下频数分布表和频数分布直方图．请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）请求出该校随机抽取了____学生成绩进行统计；
（2）表中____，____，并补全直方图；
（3）若用扇形统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段对应扇形的圆心角度数是___；
（4）若该校共有学生8000人，请估计该校分数在的学生有多少人？
【答案】（1）40名；（2）a=12、b=0.2；图见解析；（3）；（4）3200人
【解析】
【分析】
（1）根据50≤x＜60的频数和频率求出样本总人数；
（2）先求出样本总人数，即可得出a，b的值，补全直方图即可；
（3）用频率即可；
（4）全校总人数乘80分以上的学生频率即可．
详解】解：（1），
∴该校随机抽取了40名学生成绩进行统计．
（2），，
补全图形如下：
故答案为12、；
（3）；
（4）因为在抽取的样本中分数在80≤x＜100的学生有16人，占40%，40%×8000=3200，所以，估计该校分数在80≤x＜100的学生约有3200人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，用样本估计总体，频数率分布表，解题的关键是读懂图，找出对应数据，解决问题．
22.如图，在四边形中，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）120
【解析】
【分析】
（1）由可得两对内错角，，再加上已知，可用AAS证明，所以，进而可用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理即可证为平行四边形；
（2）在中，可得,至此，用勾股定理的逆定理可判断定△AOD为直角三角形，然后再利用平行四边形面积公式进行求解即可．
【详解】证明：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵AB//CD，
∴四边形为平行四边形；
（2）∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴,
又∵AD=12，OD=OB=5，
∴OD 2 + AD 2 =52+122=169， OA 2 = 132=169，BD=10，
∴OD2+AD2=OA2，
∴∠ADB=90°，
∴S四边形ABCD=AD•BD=12×10=120．
【点睛】本题主要考查了用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来判定平行四边形，勾股定理的逆定理，平行四边形的面积计算．
23.A市准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价的3倍．
（1）求提示牌和垃圾箱的单价各是多少元?
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案．
【答案】（1）50元，150元；（2）提示牌50个，垃圾箱50个；提示牌51个，垃圾箱49个；提示牌52个，垃圾箱48个；
【解析】
【分析】
1）根据“购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；
（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．
【详解】解：（1）设提示牌的单价为元，则垃圾箱的单价为元，
根据题意得，，
，
，
即：提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买提示牌个为正整数），则垃圾箱为个，
根据题意得，，
，
为正整数，
为50，51，52，共3种方案；
即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键．
24.如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，交于．
（1）若，，求的度数；
（2）求证：；
（3）若，，，求的长．
【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）由三角形的内心定义和同弧所对的圆周角相等即可解答；
（2）连接BE，根据三角形的内心定义和同弧所对的圆周角相等证得∠DBE＝∠BED，从而依据等角对等边即可证得；
（3）利用已知和角平分线的性质得，进而求得BF、CF的值，再证明△BDF∽△ACF和△DBF∽△DAB，利用相似三角形的性质得到关于BD的方程，解之即可解答﹒
【详解】（1）∵，，
∴∠BAC=180º-∠ABC-∠C=60º，
∵E是内心，
∴∠BAD＝∠CAD=∠BAC=30º，
由同弧所对的圆周角相等得：
∠CBD=∠CAD=30º；
（2）证明：连接BE，
∵E是内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE＝∠BED，∠CBE+∠CBD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BED，
∴ DE＝DB；
（3）∵∠BAD＝∠CAD，AB=6，AC=4，BC=5
∴
∴ BF=3，CF=2
∵∠DBC＝∠DAC，∠BFD=∠AFC
∴ △BDF∽△ACF
∴，
∴，
∵∠BAD＝∠CAD=∠DBC，∠BDF=∠ADB
∴ △DBF∽△DAB
∴，
∴，
∴，又BD=DE，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内心定义、圆的外接圆、同弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定与性质，解答的关键是正确理解三角形的内心定义，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，进而创造三角形相似的条件，进行相关的证明或计算．
25.定义：若一次函数y=ax+b和反比例函数y=-满足a+c=2b，则称为y=ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数．
（1）判断y=x+b和y=-是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数；
（2）若y=5x+b和y=-存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与y=-的图象的一个交点的横坐标为1，求一次函数和反比例函数的表达式；
（3）若一次函数y=ax+b和反比例函数y=-（其中a＞0，c＞0，a=b）存在“等差”函数，且y=ax+b与“等差”函数有两个交点A（x1，y1）、B（x2，y2），试判断“等差”函数图象上是否存在一点P（x，y）（其中x1＜x＜x2），使得△ABP的面积最大？若存在，用c表示△ABP的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ;(2)，;(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据“等差”函数的定义，可知，，列方程求出b的值即可；
（2）根据“等差”函数的定义可得，，由此可列出“等差”函数的解析式和反比例函数的解析式，当时联立两函数解析式可求出，问题得解；
（3）根据“等差”函数的定义用c表示出a和b，然后得到“等差”函数的解析式与一次函数解析式，求出的值，过点P作轴,交AB于H，求出，然后根据三角形面积公式和二次函数的最值求解.
【详解】解：(1)存在.
假设一次函数与反比例函数存在“等差”函数,
则，，
解得:
存在“等差”函数,其解析式为;
(2)根据题意知：,
则“等差”函数的解析式为,
反比例函数的解析式为
根据题意,将代入,
得:,解得,
故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为;
(3)存在.
根据题意知：，
，
则“等差”函数的解析式为,一次函数解析式为
与“等差”函数有两个交点，
即
如图,过点P作轴,交AB于H,
点点在,之间
当时,S取得最大值,最大值为.
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解新定义，学会利用方程组解决两个函数图象的交点问题，学会构建二次函数利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考压轴题．
26.如图，二次函数（、为参数，其中）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．
（1）若，求的值（结果用含的式子表示）；
（2）若是等腰三角形，直线与轴交于点，且．求抛物线的解析式；
（3）如图，已知，、分别是和上的动点，且，若以为直径的圆经过点，并交轴于、两点，求的最大值．
【答案】（1）tan∠CBA=－2a；（2）；（3）MN的最大值=
【解析】
【分析】
（1）将代入函数解析式，求得B点坐标，在直角三角形BOC中，利用正切定义直接求得；
（2）利用对称轴可知D的横坐标，过D做DH⊥x轴，交x轴于点H，因为OP∥DH，利用平行线分线段成比例，求得A、B两点坐标，代入解析式可得到，再对分情况讨论即可；
（3）利用圆周角定理可知解得a，求得C点，同时由已知EF=3，可知取EF的中点Q，过Q做QH⊥X轴于点H，则Q在以C为圆心，为半径的圆上运动，在Rt△QHN中，，求HN的最大值等价求QH的最小值，求得QH推得HN，进而得到MN.
【详解】（1）∵
∴
∴A（-2，0），B（5，0），C（-10a，0）
∴tan∠CBA=
（2）由已知
过D做DH⊥X轴，交X轴于点H
∵OP∥DH，AP：DP=2：3，
∴
∴OA=1，A（－1，0），B（4，0）
∴
∴
（3）∵A（－1，0），B（4，0）且以EF为直径的圆经过点C
∴，解得
∴C（0.2）
∵
取EF的中点Q，过Q做QH⊥x轴于点H，则Q在以C为圆心，为半径的圆上运动
∵MN=2HN
在Rt△QHN中，，求HN的最大值等价求QH的最小值
∵QH的最小值=
∴HN的最大值=
∴MN的最大值=
【点睛】本题考查圆的基本性质，二次函数性质，三角函数，等腰三角形性质等知识点，综合程度较高，第二问的解题关键在于能够对等腰三角形进行分类讨论.
分数段（表示分数）
频数
频率
4
0.1
8
0.3
10
0.25
6
0.15