第12章　数学建模与数学探究课件PPT

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例1　某种蔬菜从1月1日起开始上市,通过市场调查,得到该蔬菜种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市天数t(单位:10天)的数据如下表(记1月1日的t=0.1):
(1)根据上表数据求出一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本Q与上市天数t的变化关系.(2)利用所求的函数模型,求当该蔬菜种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
解 (1)①作出散点图.以上市天数t(单位:10天)为横坐标,以种植成本Q(单位:元/10 kg)为纵坐标,画出散点图(如图).
②求函数模型.从散点图可以看出,随着t变化,Q的值先减小后增大,所以可以建立二次函数模型.用函数模型Q=at2+bt+c描述该蔬菜种植成本Q与上市天数t的变化关系.将表格所提供的前三组数据分别代入Q=at2+bt+c,
变式训练1某服装厂从今年1月份开始投产,并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件.由于产品质量好,款式受欢迎,前几个月的产品销售情况良好.为了使推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估测以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程,厂里暂时不增加设备和工人.假如你是厂长,请求一个合适的函数模型,并预测6月份的产量.
解 ①画散点图.以生产月份x为横坐标,以产量y(单位:万件)为纵坐标,画出散点图,如图所示.
②求函数模型.根据散点图设指数型函数y=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1),将(1,1),(2,1.2),(3,1.3)三点的坐标代入,
③检验模型.画出函数y=-0.8×0.5x+1.4的图象,如图所示. 由图可知,函数模型与实际数据基本吻合.所以所求函数模型为y=-0.8×0.5x+1.4.④求解问题.将x=6代入y=-0.8×0.5x+1.4,得y=-0.8×0.56+1.4≈1.39.所以6月份的产量估计为1.39万件.
例2　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费对年销售量(单位:t)的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究,发现年宣传费x(单位:万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.
(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程;(2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=y-0.05x2-1.85,根据(1)中的结果回答下列问题:①当年宣传费为10万元时,年销售量及年利润的预测值是多少?②估算该公司应该投入多少宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
变式训练2随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加,下表是某购物网站1~8月促销费用x(单位:万元)和产品销量y(单位:万件)的具体数据:
解 (1)根据数据绘制散点图如下, 从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近,并且在逐步上升,所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.
探究一 向量在判断三角形的形状中的应用
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰(非等边)三角形D.等边三角形
探究二 向量法证明三角形的性质例2　我们知道“三角形的三条高线相交于一点,这个交点叫做三角形的垂心”,试证明:三角形的三条高线相交于一点.
解 如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,设AD,BE相交于一点I,连接CI并延长交AB于一点F,试用向量法证明CF⊥AB.证法一:因为AD⊥BC,BE⊥AC,
证法二:以D为原点,BC,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.设A(0,a),B(b,0),C(c,0),I(0,y).
变式训练2“三角形三边的垂直平分线相交于一点,这个交点也是三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心”,试证明:三角形三边的垂直平分线相交于一点.
解 如图,在△ABC中,D,E,F分别为边BC,AC,AB的中点,且OD⊥BC, OE⊥AC,垂足分别为D,E,试证明:OF⊥AB.
例4　设数列{an}是{2s|s∈N}集合中的所有的数从小到大排列成的数列,将数列{an}的各项按照上小下大,左小右大的原则排成类似“杨辉三角”的图形.(1)按图中箭头方向数字1,2,8,64,…组成一个数列{bn},求数列{bn}的通项公式;(2)22 005是第几行的第几个数?
变式训练4一个类似“杨辉三角”的图形如图所示,第n行共有n个数,且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第(n-1)行与之相邻的两个数的和,an,1,an,2,…,an,n(n=1,2,3,…)分别表示第n行的第一个数,第二个数,…,第n个数.求an,2(n≥2,且n∈N)的通项公式.