2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级上册数学期末复习试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级上册数学期末复习试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了二次函数y＝ax2+bx+c，长方体的主视图和左视图如图所示等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年鲁教五四新版九年级上册数学期末复习试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
3．函数y＝﹣kx+k和函数y＝在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，点A，B，C，D在圆O，AC是圆O的直径，∠CAD＝26°，则∠ABD的度数为（　　）

A．26° B．52° C．64° D．74°
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，c＜﹣1，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a﹣2b+c＜﹣1；④a﹣b＞am2+bm（m≠﹣1）；其中，正确的结论个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．长方体的主视图和左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是（　　）

A．10cm2 B．12cm2 C．15cm2 D．20cm2
7．如图所示，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且CO＝OB，△ABC的面积为4，则此反比例函数的解析式为（　　）

A． B． C． D．
8．一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，则这个正多边形外接圆的半径可以表示为（　　）
A．sin15° B．tan15° C． D．
9．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（　　）

A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米
10．如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
11．如图，AB为⊙O的直径，以AB为腰的等腰△ABC交⊙O于D，E两点，AD＝2，∠A＝45°，则弧DE的长度为 　 　．

12．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；
④﹣2＜a＜﹣1．其中正确的结论是　 　（只填写序号）．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　 　．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC＝16，BD＝12，DH垂直BC于H，则sin∠DCH＝　 　．

15．将二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象沿着y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是　 　．
16．（多选）下列图象中，表示y是x的函数的有　 　．

17．如图，圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数　 　．

18．反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象如图所示，点A在函数y＝图象上，点B在函数y＝图象上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为　 　．

三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（6分）计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．
20．（8分）在甲口袋中有三个球分别标有数码1，﹣2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，﹣5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．
（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；
（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．
21．（8分）如图，海中有一小岛P，在距小岛P的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？

22．（10分）如图，A（m，4）、B（n，2）在反比例函数y＝的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接AB，在线段CD上求一点E，使得△ABE的面积为5；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（11分）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，⊙O交AC边于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，且DE⊥BC于点E．
（1）求证：BA＝BC；
（2）若DE＝2，⊙O的直径为5，求tanC．

24．（11分）（1）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D．
①求抛物线的解析式；
②求△ABD的面积．
（2）将图1中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图象M，如图2．
①直接写出图象M所对应的函数解析式；
②直接写出图象M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围．
25．（12分）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，BO，延长BO交AC于点D．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若⊙O的半径为5，AD＝6，设△ABO的面积为S1，△BCD的面积为S2，求的值．
（3）若＝m，求cos∠BAC的值（用含m的代数式表示）．


参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴顶点坐标（1，0），对称轴x＝1，
∵a＝1＞0，
∴开口向上，抛物线的顶点在x轴上，
∴A、B、C正确，
故选：D．
2．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A是锐角，
∵cosA＝＝
∴设AB＝25x，AC＝7x，由勾股定理得：BC＝24x，
∴sinA＝＝，
故选：A．
3．解：①当k＞0时，y＝﹣kx+k过一、二、四象限；y＝过一、三象限；
②当k＜0时，y＝﹣kx+k过一、三、四象象限；y＝过二、四象限．
观察图形可知只有A符合．
故选：A．
4．解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣26°＝64°，
∴∠ABD＝∠ACD＝64°．
故选：C．
5．解：抛物线开口向上，a＞0，对称轴为x＝﹣1，因此a、b同号，b＞0，而c＜﹣1，因此abc＜0，故①不符合题意；
对称轴为x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，根据对称性得；﹣3＜x2＜﹣2，因此②符合题意；
由对称性可知，当x＝0与x＝﹣2时，y的值是相等的，又c＜﹣1，因此4a﹣2b+c＜﹣1是正确的，故③符合题意；
当x＝﹣1时，y最小＝a﹣b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，因此a﹣b+c＜am2+bm+c（m≠﹣1），即；a﹣b＜am2+bm（m≠﹣1），故④不符合题意；
综上所述，正确的结论有2个，
故选：B．
6．解：根据主视图与左视图可得此长方体的俯视图是长、宽分别为4cm和3cm的长方形，
故其面积是4×3＝12（cm2）．
故选：B．
7．解：连接OA，如图，
∵CO＝OB，
∴S△AOC＝S△AOB，
∴S△AOB＝S△ABC＝×4＝2，
∴|k|＝2S△AOB＝4，
∵反比例函数图象在第一、三象限，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝．
故选：A．

8．解：如图所示：
，
∵一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，
∴此正多边形的边数为＝12，
即多边形为12边形，
连接OA、OB，过O作ON⊥AB，
边AB对的圆心角AOB的度数为＝30°，
∵OA＝OB，ON⊥AB，
∴∠NOB＝∠AOB＝15°，AN＝BN＝AB＝1，
∴OB＝＝，
即这个正多边形的半径是，
故选：C．
9．解：如图，过C作CD⊥AB于D，
则∠CDB＝90°，
由题意得：∠BAC＝15°，∠CBD＝30°，AB＝4千米，
∴∠BCA＝∠CBD﹣∠BAC＝30°﹣15°＝15°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴BC＝AB＝4千米，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
∴CD＝BC＝2（千米），
即该建筑物离地面的高度为2千米，
故选：A．

10．解：令y＝0，则x+2＝0，
解得x＝﹣6，
则A点坐标为（﹣6，0）；
令x＝0，则y＝2，
则B点坐标为（0，2），
∴tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝30°，
作⊙P′与⊙P″切AB于D、E，
连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB，
则在Rt△ADP′中，AP′＝2×DP′＝4，
同理可得，AP″＝4，
则P′横坐标为﹣6+4＝﹣2，P″横坐标为﹣6﹣4＝﹣10，
∴P横坐标x的取值范围为：﹣10＜x＜﹣2，
∴点P横坐标为﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3共7个，
故选：C．

11．解：如图，连接OD、OE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠BEO，
∴∠BEO＝∠C，
∴OE∥AC，
∴∠BOE＝∠A＝45°，
又∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA＝45°＝∠DOE，
在Rt△AOD中，OA＝OD＝AD•sin45°＝2×＝，
∴弧DE的长度为＝，
故答案为：．

12．解：∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，
∴①正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在x轴的负半轴上，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标大于2小于3，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标的横坐标大于﹣1小于0，
∴当x＝﹣1时y＜0，
∴a﹣b+c＜0,
∴②正确；
∵当x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，
∴③正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D，D在x轴下方且0＜x＜3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
∴9a﹣6a＜﹣3，
∴a＜﹣1，
∴④不正确；
∴①②③正确,
故答案为：①②③．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，
∵顶点坐标为（0，﹣2），
且a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
14．解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝8，BO＝DO＝6，
∴BC＝＝10
∵S△BCD＝BC×DH＝BD×OC，
∴12×8＝10×DH
∴DH＝9.6
∴sin∠DCH＝＝
15．解：将二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象沿着y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是y＝2（﹣x）2﹣4•（﹣x）﹣1，即y＝2x2+4x﹣1，
故答案为y＝2x2+4x﹣1，
16．解：A、能表示y是x的函数，故此选项合题意；
B、能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、不能表示y是x的函数，故此选项不符合题意；
故答案为：A、B．
17．解：∵圆锥的底面圆的周长是4πcm，
∴圆锥的侧面扇形的弧长为4πcm，
∴＝4π，
解得：n＝120
故答案为120°．
18．解：连接OA、OB，延长AB，交x轴于D，如图，
∵AB∥y轴，
∴AD⊥x轴，OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC，
而S△OAD＝×4＝2，S△OBD＝×2＝1，
∴S△OAB＝S△OAD﹣S△OBD＝1，
∴S△ABC＝1，
故答案为1．

三．解答题（共7小题，满分66分）
19．解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°
＝
＝
＝．
20．解：（1）列表如下：

1
﹣2
3
4
（1，4）
（﹣2，4）
（3，4）
﹣5
（1，﹣5）
（﹣2，﹣5）
（3，﹣5）
6
（1，6）
（﹣2，6）
（3，6）
（2）由表可知，共有9种等可能结果，其中所抽取的两个球数码的乘积为负数的由4种结果，
∴所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率为．
21．解：过P作PB⊥AM于B，

在Rt△APB中，∵∠PAB＝30°，
∴PB＝AP＝×32＝16海里，
∵16＜16，
故轮船有触礁危险．
为了安全，应改变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16海里，即这个距离至少为16海里，
设安全航向为AC，作PD⊥AC于点D，

由题意得，AP＝32海里，PD＝16海里，
∵sin∠PAC＝＝＝，
∴在Rt△PAD中，∠PAC＝45°，
∴∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝45°﹣30°＝15°．
答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．轮船自A处开始至少沿东偏南15°度方向航行，才能安全通过这一海域．
22．解：（1）∵A（m，4）、B（n，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4m＝2n，
即n＝2m，
∵DC＝3，
∴n﹣m＝3，
∴m＝3，n＝6，
∴点A（3，4），点B（6，2），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）设点E（x，0），
∴DE＝x﹣3，CE＝6﹣x，AD＝4，BC＝2，
∵S△ABE＝S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE＝×6×3﹣×4（x﹣3）﹣（6﹣x）×2＝﹣x+9＝5，
∴x＝4，
∴点E（4，0）；
（3）∵△ABP的周长＝AB+AP+BP，
又∵AB是定值，
∴当AP+BP的值最小时，△ABP的周长最小，
如图，作点B关于x轴的对称点F（6，﹣2），连接AF交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，

设直线AF的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴直线AF的解析式为y＝﹣2x+10，
当y＝0时，x＝5，
∴点P（5，0）．
23．（1）证明：∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
而DE⊥BC，
∴OD∥BC，
∴∠ODA＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠A＝∠C，
∴BA＝BC；
（2）解：连接BD，如图，设BE＝x，BC＝BA＝5，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠DBE＝∠CBD，
∴△BDE∽△BCD，
∴BD：BC＝BE：BD，∠BDE＝∠C，
∴BD2＝BC•BE＝5x，
在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2，即5x＝22+x2，解得x1＝1，x2＝4，
当BE＝1，
∴tan∠BDE＝＝，
当BE＝4，tan∠BDE＝＝＝2
综上所述，tanC＝或2．

24．解：（1）①把C（0，3）代入y＝﹣（x﹣1）2+k，得3＝﹣（0﹣1）2+k，
解得 k＝4．
∴y＝﹣（x﹣1）2+4；

②由y＝﹣（x﹣1）2+4．可知：顶点D（1，4）．
当﹣（x﹣1）2+4＝0时，
解得 x1＝﹣1，x2＝3．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4．
∴；

（2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝﹣（x+1）2+4，
∴y＝；
②从函数图象看，M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围为：x＜﹣1或0＜x＜1．
25．（1）证明：过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥AC于点N，

∵AB＝AC，
∴OM＝ON，
∴OA平分∠BAC．
（2）解：延长AO交BC于点Q，延长AQ至P，使PQ＝OQ，连接CP、CO，

∵AB＝AC且OA平分∠BAC，
∴AP⊥BC，
∴∠BQO＝∠CQP＝90°，BQ＝CQ，
∴△BQO≌△CQP（SAS），
∴∠OBQ＝∠PCQ，CP＝BO＝5，S△BOQ＝S△OPQ，
∴BO∥CP，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠BAO＝∠DAO，
∴△ADO∽△BDA，
∴，
解得OD＝4，
∵BO∥CP，
∴△AOD∽△APC，
∴，
∴S1＝，S2＝S四边形CDOP＝S△ACF﹣S△AOD＝，
∴．
（3）由（2）同理，设CP＝BO＝AO＝r，
∴＝m，
∴PQ＝PO＝，
∵∠BAC＝2∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝∠AOD＝∠P，
∴．