2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级上册数学期末练习试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级上册数学期末练习试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了以下说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年鲁教五四新版九年级上学期数学期末练习试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
2．“皮影戏”是我国一种历史悠久的民间艺术，下列关于它的说法正确的是（　　）
A．皮影戏的原理是利用平行投影将剪影投射到屏幕上
B．屏幕上人物的身高与相应人物剪影的身高相同
C．屏幕上影像的周长与相应剪影的周长之比等于对应点到光源的距离之比
D．表演时，也可以利用阳光把剪影投射到屏幕上
3．以下说法正确的是（　　）
A．存在锐角θ，使得sin2θ+cos2θ＞1
B．已知∠A为Rt△ABC的一个内角，且∠A＜45°，则sinA＜cosA
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B为Rt△ABC的两个内角，则sinA不一定等于cosB
D．存在锐角θ，使得sinθ≥tanθ
4．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘，将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（　　）

A． B． C． D．
5．某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡CD，坡角∠DCE＝42°，斜坡高DE＝1.8米，DQ是平行于水平地面BC的一个平台．小华想利用所学知识测量古塔的高度AB，她在平台的点G处水平放置一平面镜，她沿着GQ方向移动，当移动到点N时，刚好在镜面中看到古塔顶端点A的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离MN＝1.5米，GN＝2米，BC＝16米，DG＝8米，已知AB⊥BC，MN⊥DQ，根据题中提供的相关信息，古塔的高度AB约为（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）（　　）

A．19.5 B．19.7 C．21.3 D．22.1
6．已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（　　）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
7．如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径．若∠B＝60°，AC＝，则直径AD的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．
8．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（　　）

A．180m B．200m C．220m D．240m
9．以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　）
A．0≤b＜2 B．﹣4≤b≤4 C．﹣2＜b＜2 D．﹣4＜b＜4
10．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（　　）

A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
11．如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE．连接EF交AB于点H．下列结论正确的是（　　）

A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1：
C．AF2＝EH•EF D．EB：AD＝EH：HF
12．如图，抛物线y＝x2﹣2x+t交x轴于点A（a，0），B（b，0），交y轴于点C，抛物线顶点为D，下列四个结论：
①无论t取何值，CD＝恒成立；
②当t＝0时，△ABD是等腰直角三角形；
③若a＝﹣1，则b＝4；
④抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＜y2．其中正确的结论是（　　）

A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．计算：＝　 　．
14．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 　 　．
马匹
姓名
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
15．如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧．以C为圆心，6为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为S1、S2，时，则S1﹣S2＝　 　．（结果保留π）

16．如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥x轴于点B，若△ABO的面积是3，则k＝　 　．

17．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 　 　米．

18．如图，点C为线段AB的中点，以BC为边作正方形BCDE，点F、点G分别在边DE、DC上，且满足DF＝DG，连接BF，连接AG并延长交BF于点H，连接DH．以下结论：
①△ACG≌△BEF；
②HD＝HG；
③AH⊥BF；
④∠DHG＝45°．
其中正确的有　 　（填序号）．

三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（10分）（1）解不等式组：．
（2）先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m＝﹣．
20．（7分）扇形的半径为30cm，圆心角为240°．若将它卷成一个无底的圆锥形筒，则这个圆锥形筒的高是多少？以适当的比例画出这个圆锥的三视图．
21．（7分）小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．
（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是多少？
（2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则小李获胜；若摸出的两个球都是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平．
22．（9分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过线段AB的中点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝﹣x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，交反比例函数y1＝（x＞0）的图象于点E，F，连接CE，CF，求△CEF的面积；
（3）请结合图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．

23．（10分）学校“科技创新小团队”设计的智能照明家居（如图①）的设计方案（如图②）所示：MN为台灯底座，支架AB与MN的夹角为60°．支架AB与BC的夹角可以调节的．试用后发现，当支架AB与BC的夹角为108°时，可以达到较好的照明效果．若AB＝21cm，BC＝28cm．此时点C离底座MN的距离为多少？（结果精确到0.1cm．参考数据：≈1.41；≈1.73；sin48°≈0.74；cos48°≈0.67；tan48°≈1.11）

24．（11分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：由题意得，x+1≥0，1+x≠0，
解得，x＞﹣1，
故选：B．
2．解：A．“皮影戏”是根据中心投影将剪影投射到屏幕上，因此选项A不符合题意；
B．由中心投影的性质可知幕上人物的身高与相应人物剪影的身高成比例，因此选项B不符合题意；
C．由中心投影的性质可知屏幕上影像的周长与相应剪影的周长之比等于相似比，即等于对应点到光源的距离之比，因此选项C符合题意；
D．表演时，不可以利用阳光把剪影投射到屏幕上，因此选项D不符合题意；
故选：C．
3．解：当θ是锐角时，sin2θ+cos2θ＝1，因此选项A不符合题意；
当∠A＜45°，则90°﹣∠A＞∠A，因此sinA＜sin（90°﹣A），即sinA＜cosA，故选项B符合题意；
因为∠A+∠B＝90°，所以sinA＝cosB，因此选项C不符合题意；
因为tanθ＝，而0＜cosθ＜1，所以tanθ＞sinθ，因此选项D不符合题意；
故选：B．
4．解：如图所示，令S△ABC＝a，

则S阴影＝6a，S正六边形＝18a，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为＝，
故选：B．
5．解：在Rt△CDE中，tan∠DCE＝，
∴0.9＝，
∴CE＝2，
延长GD交AB于点H，
则BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），

∵∠AHG＝∠MNG＝90°，∠AGH＝∠MGN，
∴△AHG∽△MNG，
∴＝，
即＝，
∴AH＝19.5（米），
∴AB＝AH+HB＝21.3（米）．
答：古塔的高度AB为21.3米．
故选：C．
6．解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+）²﹣．
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+﹣3）²﹣+1，
∴将（0，0）代入，得0＝（0+﹣3）²﹣+1，
解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．
故选：B．
7．解：如图，连接CD，

∵AD是直径．
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵AC＝，
∴AD＝×AC＝2，
则直径AD的长为2．
故选：B．
8．解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：

∴A（﹣30，0），B（30，0），D（15，150），
设抛物线的解析式为y＝a（x+30）（x﹣30），将（15，150）代入，得：
150＝a（15+30）（15﹣30），
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x+30）（x﹣30）
＝﹣x2+200，
∴抛物线顶端O的坐标为（0，200），
∴此抛物线顶端O到连桥AB距离为200m．
故选：B．
9．解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是B（0，b），
当y＝0时，x＝b，则与y轴的交点是A（b，0），
则OA＝OB＝b，即△OAB是等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，
AB＝＝＝b，
连接圆心O和切点C，则OC＝4，OC⊥AB，
∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OC，
∴4＝＝，
则b＝4；
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣4；
则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣4＜b＜4．
故选：D．

10．解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，
∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，
∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，
∵F乙最小，
∴乙同学到支点的距离最远．
故选：B．
11．解：∵△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠EAB＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，
故A不正确；
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴AE：EF＝1：，
故B不正确；
若AF2＝EH•EF成立，
∵AE：EF＝1：，
∴EH＝AF，
∴EH＝EF，
即H是EF的中点，H不一定是EF的中点，
故C不正确；
∵AB∥CD，
∴EB：BC＝EH：HF，
∵BC＝AD，
∴EB：AD＝EH：HF，
故D正确；
故选：D．
12．解：①∵y＝x2﹣2x+t＝（x﹣1）2+t﹣1，
∴C（0，t），D（1，t﹣1），
∴CD＝，
故①正确；
②当t＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（0，0）、B（2，0），顶点D（1，﹣1），
∴AD＝BD＝，
∴△ABD是等腰直角三角形，
故②正确；
③当a＝﹣1时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∵对称轴x＝1，
∴另一个交点坐标为（3，0），
∴b＝3，
故③错误；
④观察二次函数图象可知：
当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
则1﹣x1＜x2﹣1
∴y1＜y2．
故④正确．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．解：
＝4﹣3+﹣2×﹣1
＝1+﹣﹣1
＝0．
故答案为：0．
14．解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：

双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，
∴田忌能赢得比赛的概率为．
故答案为：．
15．解：由图可知，
S1+S3＝π×42×＝4π，
S2+S3＝6×6﹣π×62×＝36﹣9π，
∴（S1+S3）﹣（S2+S3）＝4π﹣（36﹣9π）
即S1﹣S2＝13π﹣36，
故答案为：13π﹣36．

16．解：根据题意可知：S△ABO＝|k|＝3，即k＝±6．
又∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
17．解：建立坐标系，如图所示：

由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把A（0，1.68）代入得：
4a+2＝1.68，
解得a＝﹣0.08，
∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2，
令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0，
解得x1＝7，x2＝﹣3（舍），
∴小丁此次投掷的成绩是7米．
故答案为：7．
18．解：∵点C为线段AB的中点，
∴AC＝BC，
∵四边形BCDE是正方形，
∴DE＝DC＝BC＝BE＝AC，∠E＝∠DCB＝90°，
又∵DF＝DG，
∴CG＝EF，
又∵∠E＝∠ACG＝90°，
∴△ACG≌△BEF（SAS），故①正确，
∴∠A＝∠EBF，∠AGC＝∠BFE，
∵∠EBF+∠FBC＝90°，
∴∠A+∠FBC＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴AH⊥BF；故③正确，
过点D作DN⊥BF于N，DM⊥AH于H，

∵∠AGC＝∠BFE，
∴∠DGM＝∠NFD，
又∵∠DNF＝∠DMG＝90°，DF＝DG，
∴△DFN≌△DGM（AAS），
∴DM＝DN，
又∵∠AHF＝90°＝∠DNF＝∠DMG，
∴∠DHG＝∠DHN＝45°，故④正确；
若DH＝HG，∠DHG＝45°，
∴∠HDG＝∠HGD＝67.5°，
∴∠A＝22.5°，
∵点F、点G分别在边DE、DC上，
∴∠A不是定值，
∴DH与HG不一定相等，故②错误．
故答案为：①③④．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．解：（1）解不等式3x+6≥5（x﹣2），得：x≤8，
解不等式﹣＜1，得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤8；
（2）原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝﹣2（m+3）
＝﹣2m﹣6，
当m＝﹣时，
原式＝﹣2×（﹣）﹣6
＝1﹣6
＝﹣5．
20．解：扇形的弧长是：＝40πcm，
设底面半径是r，则2πr＝40π，
解得：r＝20，
则圆锥的高为：＝10（厘米），
如图所示：

21．解：（1）∵共有4个球，其中有1个红球、2个白球、1个黑球，
∴摸到红球的概率是．

（2）根据题意画树状图如下：

共有12种等可能的情况数，其中两个球是一红一黑有2种，两个球都是白色的有2种，
则小李获胜的概率是＝，小王获胜的概率是＝，
所以游戏规则是公平的．
22．解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（6，0），B（0，4），
∵线段AB的中点是C，
∴C（3，2）．
将C（3，2）代入y1＝（x＞0），得k＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y1＝；

（2）∵将直线y＝﹣x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，
∴a＝﹣，D（10，0）．
把D（10，0）代入y＝﹣x+b，解得b＝，
∴直线EF的解析式为y2＝﹣x+．
由，解得或，
∴E（1，6），F（9，）．
如图，过点C作CP∥y轴交EF于P，则P点的横坐标为3．
将x＝3代入y2＝﹣x+，得y＝，
∴CP＝，
∴S△ECF＝S△ECP+S△PCF
＝××（3﹣1）+××（9﹣3）
＝+8
＝；

（3）由图象可得，不等式y1＜y2的解集为1＜x＜9．

23．解：如图，过点C作CE⊥MN于点M，过点B作BF⊥MN于点F，作BG⊥CE于点G，
得矩形EGBF，

在Rt△ABF中，
∵∠BAF＝60°，AB＝21cm，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝AB＝cm，
∴BF＝AF＝≈18.165（cm），
∴GE＝BF≈18.165（cm），
在Rt△CGB中，
∵∠CBG＝108°﹣60°＝48°，BC＝28cm．
∴CG＝BC×sin48°≈28×0.74≈20.72（cm），
∴CE＝CG+GE＝20.72+18.165≈38.9（cm），
答：此时点C离底座MN的距离为38.9cm．
24．解：（1）连接OD，
∵DP是⊙O的切线，
∴DO⊥DP，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴OD⊥BC，
∴DP∥BC；
（2）∵DP∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴△ABD∽△DCP；
（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，
∴BC＝13cm，
在Rt△COD中，CD＝，
在Rt△BOD中，BD＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴＝，
∴＝，
∴CP＝．

25．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m，），
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，
联立方程组：，
解得：，，
∵点B坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（，﹣），
∴BD+CF＝3+，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC
＝PE•BD+PE•CF
＝PE（BD+CF）
＝（﹣m2+m+1）•
＝（）2+，（其中＜m＜3），
∵，
∴这个二次函数有最大值．
当m＝时，S△PBC的最大值为．
（3）如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n， n﹣2），
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：，，
M1（0，﹣3），M2，
如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n， n﹣2），
作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：t1＝，t2＝，
∴M3，M4（，）；
综上所述，点M的坐标为M1（0，﹣3），M2，M3，M4（，）．