2021-2022学年华东师大版九年级上册数学期末复习试卷 （含答案）

这是一份2021-2022学年华东师大版九年级上册数学期末复习试卷 （含答案），共18页。试卷主要包含了下列二次根式中，最简二次根式是，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年华东师大新版九年级上册数学期末复习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣5 B．4﹣3＝1 C．×＝ D．÷＝9
3．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方后所得方程为（　　）
A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
6．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边分别是1和3．现随机向该图形内掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为（　　）

A．1 B． C． D．
7．如图二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），B（6，0），下列说法正确的是（　　）

A．b2﹣4ac＜0 B．4a﹣2b+c＜0
C．c＜0 D．对称轴是直线x＝4
8．如图，△ABC的两条中线CD，BE交于点O，则下列结论：①△ADE∽△ABC；②△DOE∽△COB；③＝；④；⑤＝，其中正确的个数有（　　）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
9．如图，已知平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝12，BC＝6，P为AB上任意一点（可以与A、B重合），延长PD到F，使得DF＝PD，以PF、PC为边作平行四边形PCEF，则PE长度的最小值为（　　）

A． B．9 C．3 D．6
10．关于x的二次函数+，其中a为锐角，则：
①当a为30°时，函数有最小值﹣；
②函数图象与坐标轴可能有三个交点，并且当a为45°时，连接这三个交点所围成的三角形面积小于1；
③当a＜60°时，函数在x＞1时，y随x的增大而增大；
④无论锐角a怎么变化，函数图象必过定点．
其中正确的结论有（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝　 　．
13．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　 　．

14．如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，若AB＝4，tanC＝，则BC＝　 　．

15．化简：＝　 　．
16．如图所示，n+1个边长为1的等边三角形，其中点A，C1，C2，C3，…∁n在同一条直线上，若记△B1C1D1的面积为S1，△B2C2D2的面积为S2，△B3C3D3的面积为S3，…，△Bn∁nDn的面积为Sn，则Sn＝　 　．

三．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
17．计算：2cos45°﹣|1﹣|+（）﹣1﹣．
18．（1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当 　 　时，它的根是：　 　．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
（2）小明在用公式法解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21．（第二步）
∴．（第三步）
∴．（第四步）
小明解答过程是从第 　 　步开始出错的，其错误原因是 　 　．
（3）请你写出此题正确的解答过程．
19．阅读以下内容，并回答问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1，b1，c1是常数，a1≠0）与y＝a2x2+b2x+c2（a2，b2，c2是常数，a2≠0）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
（1）请写出函数y＝﹣x2+4x﹣3的“旋转函数”的表达式及其顶点的坐标；
（2）已知函数y＝﹣（x+2）（x﹣3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A'，B'，C'，试判断过点A'，B'，C′的二次函数与函数y＝﹣（x+2）（x﹣3）是否互为“旋转函数”，并说明理由．
四．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分）
20．根据甲，乙两个事件发生的概率，解答下列相关问题：
甲事件：在一个口袋中放入10个除颜色外形状大小都相同的球，其中9个红球，一个白球．则摸到白球的事件属于　 　．
A．必然事件；
B．不可能事件；
C．随机事件．
乙事件：如图是一个被等分为6个扇形的转盘，2个扇形涂成红色，一个扇形涂成蓝色，其余三个扇形涂成白色，小颖和小琪想通过这个转盘做游戏，若转盘指针指到红色区域，则小颖赢；若转盘指针指到白色区域，则小琪赢，你认为这个游戏公平吗？并说明理由．

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．
22．为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，口罩成了生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩．
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）已知普通口罩每包进价8元，按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．
（1）证明：AM2＝MN•MP；
（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．

24．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD．（结果保留根号）

六．解答题（共2小题，满分25分）
25．（12分）综合与实践
如图，四边形ABCD和AFGH都为正方形，点F、H分别在AB、AD上，连接BD、BH、FH，点N、M、K分别是它们的中点．
（1）观察思考
图（1）中，线段MN和MK的数量关系和位置关系为 　 　．
（2）探究证明
将正方形AFGH绕点A旋转，在旋转的过程中MN和MK的上述关系是否发生变化？并结合图（2）说明理由．
（3）连接DF，取DF的中点R，连接NR，KR．
①判断四边形MNRK的形状，并说明理由；
②若AD＝6，AH＝2，在旋转的过程中，四边形MNRK的周长的最大值为 　 　．

26．（13分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）填空：点A的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　，抛物线的解析式为 　 　；
（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、原式＝，故A不是最简二次根式．
B、原式＝，故B不是最简二次根式．
C、是最简二次根式，故C是最简二次根式．
D、原式＝3，故D不是最简二次根式．
故选：C．
2．解：A、＝5，故此选项错误；
B、4﹣3＝，故此选项错误；
C、×＝，故此选项正确；
D、÷＝3，故此选项错误；
故选：C．
3．解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；
B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；
C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；
D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．
故选：C．
4．解：x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2．
故选：D．
5．解：由勾股定理得，AC＝＝＝
则sinB＝＝，
故选：C．
6．解：∵两直角边分别是1和3，
∴斜边即大正方形的边长为＝，小正方形边长为2，
∴S大正方形＝10，S小正方形＝4，
∴飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为＝；
故选：D．
7．解：A、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故错误；
B、当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故错误；
C、抛物线交y轴的正半轴，则c＞0，故错误；
D、∵次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），B（6，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝4，故正确；
故选：D．
8．解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，即，
DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC，
故①②③正确；
∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
故④不正确；
∵△DOE∽△COB，
∴，
∴故⑤正确；
故本题正确的是①②③⑤，共4个．
故选：C．
9．解：
记PE与CD交点为G，
∵四边形PFEC为平行四边形，
∴PF∥CE，
∴∠DPE＝∠CEP，∠PDC＝∠ECD，
∴△PGD∽△EGC，
∵DF＝PD，
∴PD＝PF＝CE，
∴，
∴＝，
∴PE＝3PG，
要求PE的最小值，只需PG的最小值即可，PG的最小值为当PG⊥CD时PG的长，
过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△CBH中，∵∠B＝60°，BC＝5，
∴sinB＝，即，
∴PG＝CH＝3，
∴PE＝3PG＝3＝9，
故选：B．
10．解：①当a＝30°时，sina＝，二次函数解析式可写作：y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣；
所以当a为30°时，函数的最小值为﹣；故①正确．
②令y＝0，则有：2sinax2﹣（4sina+）x﹣sina+＝0，
△＝（4sina+）2﹣4×2sina×（﹣sina+）＝24sin2a+＞0，
所以抛物线与x轴一定有两个交点，再加上抛物线与y轴的交点，即与坐标轴可能有三个交点（当图象过原点时，只有两个交点）；
设抛物线与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0）；
当a＝45°时，sina＝，得：y＝x2﹣（2+）x﹣，则：
三角形的面积 S＝|x1﹣x2|×＝×＝×≈0.3＜1
故②正确．
③∵2sina＞0，且对称轴x＝﹣＝1+＞1，
∴x＝1在抛物线对称轴的左侧，因此 x＞1时，y随x的增大先减小后增大；
故③错误．
④y＝2sinax2﹣（4sina+）x﹣sina+＝sina（2x2﹣4x﹣1）﹣x+；
当2x2﹣4x﹣1＝0，即 x＝1±时，抛物线经过定点，且坐标为：（1+，﹣）、（1﹣，）；
故④正确．
综上，正确的选项是①②④，故选C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：∵二次根式有意义，
∴2x﹣1≥0，
解得：x≥．
故答案为：x≥．
12．解：根据题中的新定义得：＝x2﹣6（x﹣2）＝4，
即x2﹣6x+8＝0，
分解因式得：（x﹣4）（x﹣2）＝0，
解得：x＝4或2．
故答案为：2或4．
13．解：∵点O是线段AG的中点，
∴OA＝OG＝AG，
∵DE∥BC，AD：DB＝3：1，
∴＝＝＝，＝＝，
∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG，
∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1，
故答案为：2：1．
14．解：∵AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠B＝45°．
∵AB＝4，sinB＝＝，
∴BD＝AD＝4．
在Rt△ADC中，
∵tanC＝＝＝，
∴CD＝3．
∴BC＝BD+CD＝7．
故答案为：7．
15．解：＝＝×＝3．
故答案是：3．
16．解：由题意可知，S1＝＝＝，
S2＝＝＝，
S3＝＝＝，
…，
所以Sn＝，
∵，
∴Sn＝．
故答案为：
三．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
17．解：原式＝2×﹣（﹣1）+3﹣3
＝﹣+1
＝1．
18．解：（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的根是：x＝．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
故答案为：b2﹣4ac；x＝．
（2）小明在用公式法解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21．（第二步）
∴．（第三步）
∴．（第四步）
小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式．
故答案为：一，方程没有化成一般式．
（3）方程化为x2﹣5x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴x＝．
∴x1＝，x2＝．
19．解：（1）由y＝﹣x2+4x﹣3函数可知，a1＝﹣1，b1＝4，c1＝﹣3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝1，b2＝4，c2＝3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝x2+4x+3，
函数的对称轴为x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）；

（2）是，理由：
当x＝0时，y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
当y＝0时，y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（2，0），B1（﹣3，0），C1（0，﹣3）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝（x﹣2）（x+3），
同理可得：a2＝，b2＝，c2＝﹣3，
∴a1+a2＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝﹣（x+2）（x﹣3）互为“旋转函数”．
四．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分）
20．解：甲事件：∵口袋中放入10个除颜色外形状大小都相同的球，其中9个红球，一个白球，
∴摸到白球的事件属于随机事件；
故选：C；

乙事件： 这个游戏不公平；
∵P（小颖赢）＝＝，P（小琪赢）＝＝；
∴P（小颖赢）＜P（小琪赢）；
∴小琪赢的可能性大，这个游戏不公平．
21．解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝25﹣4m≥0，
解得，m≤；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，
∵3x1﹣2x2＝5，
∴3x1+3x2﹣5x2＝5，
∴﹣5x2＝﹣10，
解得，x2＝2，
把x＝2代入原方程得，m＝6．
22．解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，
依题意得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，
整理得：m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴12﹣m＝10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元．
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
23．证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM，
∴△ADM∽△NBM，
∴＝，
∵AB∥DC，
∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM，
∴△PDM∽△ABM，
∴＝，
∴＝，
∴AM2＝MN•MP；
（2）∵AD∥BC，
∴∠PCN＝∠PDA，∠P＝∠P，
∴△PCN∽△PDA，
∴＝，
∵DC：CP＝2：1，
∴＝＝，
又∵AD＝6，
∴NC＝2，
∴BN＝4．
24．解：作BF⊥CD于点F，根据题意可得ABCF是矩形，
∴CF＝AB，
∵斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，
∴AB＝2，
∴CF＝2，
设DF＝x米，

在Rt△DBF中，tan∠DBF＝，
则BF＝＝x（米），
在直角△DCE中，DC＝x+CF＝（2+x）米，
在直角△DCE中，tan∠DEC＝，
∴EC＝（x+2）米．
∵BF﹣CE＝AE，即x﹣（x+2）＝8．
解得：x＝4+1，
则CD＝4+1+2＝（4+3）米．
答：CD的高度是（4+3）米．
六．解答题（共2小题，满分25分）
25．解：（1）∵点N、M、K分别是BD、BH、FH的中点，
∴MN∥DH且MN＝DH，MK∥BF且MK＝BF，
∵四边形ABCD和AFGH都为正方形，
∴AB﹣AF＝AD﹣AH，
∴BF＝DH，
∴MN＝MK，
∵MN∥DH∥BC，MK∥AB，
∴∠NMH＝∠CBH，∠KMH＝FBH，
∵∠ABC＝∠CBH+FBH＝90°，
∴∠NMH+∠KMH＝90°，
∴MN⊥MK．
故答案为：MN＝MK且MN⊥MK；
（2）不会变化，理由如下：
∵点N、M、K分别是它们的中点，
∴MN∥DH且MN＝DH，MK∥BF且MK＝BF，
∵四边形ABCD和AFGH都为正方形，
∴∠BAD＝∠FAH＝90°，
∴∠BAD﹣∠FAD＝∠FAH﹣∠FAD，
在△BAF与△DAH中，
，
∴△BAF≌△DAH（SAS），
∴BF＝DH，∠ABF＝∠ADH，
∴MN＝MK，
如图，延长BF交DH与T，

∵∠ABF＝∠ADH，
∴∠DAB＝∠DTB＝90°，
∴DH⊥BF，
∵MN∥DH，MK∥BF，
∴MN⊥MK；
（3）①正方形，理由如下：
∵R、N分别DF、BD的中点，
∴NR∥BF且NR＝BF，
由（2）知，MK∥BF且MK＝BF，
∴NR∥MK，NR＝MK，
∴四边形NRKM为平行四边形，
再由（2）知，MN＝MK且MN⊥MK，
∴平行四边形NRKM为正方形；
②∵AD＝6，AH＝2，在旋转的过程中BF的范围为：AD﹣AH≤BF≤AD+AH，
∴4≤BF≤8，
∴BF的最大值为8，
∴NR最大值为4，
∴正方形MNRK的周长的最大值为16．
故答案为：16．
26．解：（1）∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+c，
∵点B（3，0）是抛物线与x轴的交点，
∴9﹣12+c＝0，
∴c＝3，
∴y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，x2﹣4x+3＝0，
∴x＝3或x＝1，
∴A（1，0），
∵D是抛物线的顶点，
∴D（2，﹣1），
故答案为（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；
（2）当m+2＜2时，即m＜0，
此时当x＝m+2时，y有最小值，
则（m+2）2﹣4（m+2）+3＝，
解得m＝，
∴m＝﹣；
当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，
则m2﹣4m+3＝，
解得m＝或m＝，
∴m＝；
当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符；
综上所述：m的值为或﹣；
（3）存在，理由如下：
A（1，0），C（0，3），
∴AC＝，AC的中点为E（，），
设P（2，t），
∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，
∴PE＝AC，
∴＝，
∴t＝2或t＝1，
∴P（2，2）或P（2，1），
∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2，2）或（2，1）．