2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科） （解析版）

这是一份2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科） （解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共12小题）
1．设（1+i）z，则z的共轭复数（　　）
A．4﹣2i B．4+2i C．2﹣i D．2+i
2．设集合U＝R，A＝{x|x2＞3x}，B＝{x|x≤2}，则（∁UA）∩B＝（　　）
A．{x|0＜x≤2} B．{x|0≤x≤2} C．{x|x＜0} D．{x|2＜x≤3}
3．下列函数中为奇函数的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝2x+2﹣x
C．y＝cos（x） D．y＝|lnx|
4．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》.2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，算盘每档各珠均如最左档一样位置；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”．例如，当百位档一个上珠，十位档一个下珠和个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是515．现选定“个位档”“十位档”和“百位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（　　）

A． B． C． D．
5．已知π是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是（　　）
A．lnπ＞ln3＞log3e B．lnπ＞log3e＞ln3
C．ln3＞log3e＞lnπ D．ln3＞lnπ＞log3e
6．已知直线l经过A（1，3）和B（﹣1，﹣1）两点，若将直线l绕点A按逆时针方向旋转后到达直线1'的位置，则l'的方程为（　　）
A．x﹣y+2＝0 B．3x+y﹣6＝0 C．2x﹣y+5＝0 D．3x+y+4＝0
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．9π B． C． D．
8．已知数列{an}满足a1＝2，an+1，则a2020＝（　　）
A． B． C． D．
9．已知圆锥的底面半径为2，高为4，则该圆锥的内切球表面积为（　　）
A．4π B．4 C．8 D．8π
10．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后，所得到的图象对应的函数为（　　）

A．y＝2sin（2x） B．y＝2sin（）
C．y＝2sin（2x） D．y＝2sin（）
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为4，BB1的中点为M，过D、M、C1三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（　　）
A．18 B．6 C．12 D．36
12．已知函数f（x），若存在互不相等的正实数x1、x2、x3，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中x1＜x2＜x3，则x3•f（x1）的最大值为（　　）
A． B．4 C．9 D．36
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知平面向量、，若（1，2），∥，⊥（），则||＝　 　．
14．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝2，b，sinCsinB，则△ABC的面积为　 　．
15．某地为了解居民的每日总用电量y（万度）与气温x（°C）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：
气温X（°C）
19
13
9
﹣1
每日总用电量y（（万度）
24
34
38
64
经分析，可用线性回归方程拟合y与X的关系．据此预测气温为14°C时，该地当日总用电量y （万度）为　 　．
16．设F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左焦点，过F作圆x2+y2＝a2的切线，切点为M，切线与渐近线yx相交于点N，若|MN|＝2|MF|，则C的离心率为　 　．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝15，且a1，a3，a11成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an•（）n，试问数列{bn}是否存在最大项？若存在，求出最大项序号n的值；若不存在，请说明理由．
18．为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年的科技素质．某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩，其频率分布直方图如图：

（1）该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入如表的列联表，并判断能否有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”？

获奖
不获奖
合计
男生



女生



合计


100
（2）估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
附：．
P（K2≥k）
0.40
0.25
0.15
0.10
k
0.708
1.323
2.072
2.706
19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧面BCC1B1为正方形，底面ABC为正三角形，BC1∩B1C＝O，A1B1＝A1C．
（1）求证：B1C⊥平面A1BC1；
（2）若BC＝2，求点C到平面A1B1C1的距离．

20．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C过点（0，﹣1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y＝x+m（m＞0）与椭圆C交于A、B两点，点O为坐标原点，在椭圆C上是否存在一点P，满足？若存在，求△ABP的面积；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝cosxx2﹣a．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（2）当a≥1时，求证：对任意的x∈[0，2]，f（x）≤0．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，A（2，），B（1，），C（1，），D（2，），弧所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线是弧，曲线M2是弧．
（1）分别写出M1，M2的极坐标方程：
（2）点E，F位于曲线M2上，且，求△EOF面积的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x2+2﹣t|+|t﹣3|（x＞0）．
（1）若f（1）＝2，求实数t的取值范围；
（2）求证：f（x）≥2．


参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设（1+i）z，则z的共轭复数（　　）
A．4﹣2i B．4+2i C．2﹣i D．2+i
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：∵（1+i）z，
∴z，
则．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2．设集合U＝R，A＝{x|x2＞3x}，B＝{x|x≤2}，则（∁UA）∩B＝（　　）
A．{x|0＜x≤2} B．{x|0≤x≤2} C．{x|x＜0} D．{x|2＜x≤3}
【分析】可解出集合A，然后进行交集、补集的运算即可．
解：A＝{x|x＜0，或x＞3}；
∴∁UA＝{x|0≤x≤3}；
∴（∁UA）∩B＝{x|0≤x≤2}；
故选：B．
【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
3．下列函数中为奇函数的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝2x+2﹣x
C．y＝cos（x） D．y＝|lnx|
【分析】根据题意，依次分析选项中函数是否是奇函数，综合即可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x2，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），即函数y＝x2既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于B，y＝2x+2﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝f（x），函数y＝2x+2﹣x为偶函数，不符合题意；
对于C，y＝cos（x）＝﹣sinx，是其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣f（x），则函数y＝cos（x）是奇函数，符合题意；
对于D，y＝|lnx|，其定义域为（0，+∞），既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
4．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》.2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，算盘每档各珠均如最左档一样位置；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”．例如，当百位档一个上珠，十位档一个下珠和个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是515．现选定“个位档”“十位档”和“百位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】列举所有可能表示的三位数，在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被3整除包含的三位数的个数，由此能求出这个数能被3整除的概率．
解：选定“个位档”“十位档”和“百位档”，规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），
所有可能表示的三位数有：
111，115，151，515，155，515，551，555，共8个，
则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，
这个数能被3整除包含的三个数有：111，555，共2个，
∴这个数能被3整除的概率为p．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5．已知π是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是（　　）
A．lnπ＞ln3＞log3e B．lnπ＞log3e＞ln3
C．ln3＞log3e＞lnπ D．ln3＞lnπ＞log3e
【分析】利用对数函数的性质求解．
解：∵函数对数y＝lnx和y＝log3x在（0，+∞）上单调递增，且π＞3＞e，
∴lnπ＞ln3＞lne＝1，又∵log3e＜log33＝1，
∴lnπ＞ln3＞log3e，
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．
6．已知直线l经过A（1，3）和B（﹣1，﹣1）两点，若将直线l绕点A按逆时针方向旋转后到达直线1'的位置，则l'的方程为（　　）
A．x﹣y+2＝0 B．3x+y﹣6＝0 C．2x﹣y+5＝0 D．3x+y+4＝0
【分析】直线l的斜率为2，设l'的斜率为k，由题意得k＜0，则tan，求出l'的斜率，由此能求出l'的方程．
解：∵直线l经过A（1，3）和B（﹣1，﹣1）两点，
∴直线l的斜率为2，
将直线l绕点A按逆时针方向旋转后到达直线1'的位置，
设l'的斜率为k，由题意得k＜0，
则tan，解得k＝﹣3或k（舍），
∴l'的方程为y﹣3＝﹣3（x﹣1），即3x+y﹣6＝0．
故选：B．

【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程、直线夹角公式等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．9π B． C． D．
【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出直观图的体积．
解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体．
如图所示：

故V．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
8．已知数列{an}满足a1＝2，an+1，则a2020＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由an+1可得，又a1＝2，所以数列{}是首项为，公差为的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求出结果．
解：∵an+1，
∴，即，
∴，又∵a1＝2，
∴数列{}是首项为，公差为的等差数列，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的通项公式，是中档题．
9．已知圆锥的底面半径为2，高为4，则该圆锥的内切球表面积为（　　）
A．4π B．4 C．8 D．8π
【分析】先由题设条件求出圆锥的轴截面，再求其内切圆的的半径，即为圆锥内切球的半径，最后解决其表面积问题．
解：如图所示：△PAB为圆锥的轴截面，且AB＝2R＝4，OP＝4，
在直角三角形POA中，PA6．设△PAB内切圆的半径为r，
∵S△PABAB×PO＝8（PA+PB+AB）•r（12+4）•r，
∴r即为圆锥的内切球的半径．故其表面积为4πr2＝8π．
故选：D．

【点评】本题主要考查圆锥的内切球问题，属于基础题．
10．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后，所得到的图象对应的函数为（　　）

A．y＝2sin（2x） B．y＝2sin（）
C．y＝2sin（2x） D．y＝2sin（）
【分析】直接利用函数的图象的应用求出函数f（x）的关系式，进一步利用图象的变换的应用求出结果．
解：根据函数的图象：A＝2，T，
所以ω＝2．
当x时，函数取得最小值，
故φ，解得φ＝2kπ，k∈Z，
当k＝0时，φ．
故f（x）＝2sin（2x），
所以把f（x）＝2sin（2x）的图象向右平移个单位得到g（x），
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为4，BB1的中点为M，过D、M、C1三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（　　）
A．18 B．6 C．12 D．36
【分析】取AB中点N，连结DN，MN，推导出MN∥DC1，且MNDC1＝2，DN＝C1M＝2，从而过D、M、C1三点的平面截正方体为两部分的截面图形为等腰梯形DNMC1，由此能求出截面图形的面积．
解：取AB中点N，连结DN，MN，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为4，BB1的中点为M，
∴MN∥DC1，且MNDC1＝2，DN＝C1M＝2，
∴过D、M、C1三点的平面截正方体为两部分的截面图形为等腰梯形DNMC1，
∴截面图形的面积为：
S18．
故选：A．

【点评】本题考查截面图形的面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．
12．已知函数f（x），若存在互不相等的正实数x1、x2、x3，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中x1＜x2＜x3，则x3•f（x1）的最大值为（　　）
A． B．4 C．9 D．36
【分析】作出图象，可得1＜x3＜9，结合条件得到x3•f（x1）＝x3•f（x3）＝x3•（3），换元构造函数g（t）＝3t2﹣t3，利用导数求得其最大值即可
解：作出函数f（x）的图象如图：

由图可得，1＜x3＜9，且有f（x1）＝f（x3），
则x3•f（x1）＝x3•f（x3）＝x3•（3），其中1＜x3＜9，
令t，则t∈（1，3），g（t）＝x3•f（x1）＝t2（3﹣t）＝3t2﹣t3，
所以当g‘（t）＝6t﹣3t2＝0，解得t＝2，
即当t∈（1，2）时，g（t）单调递增，t∈（2，9）时，g（t）单调递减，
则g（t）＝x3•f（x1）最大4值为g（2）＝3×4﹣8＝4，
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的图象及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知平面向量、，若（1，2），∥，⊥（），则||＝　　．
【分析】由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出结果．
解：∵平面向量、，若（1，2），∥，故可设（λ，2λ）．
∵⊥（），∴5+（λ+4λ）＝0，求得λ＝﹣1，
则|||λ|，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
14．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝2，b，sinCsinB，则△ABC的面积为　　．
【分析】由正弦定理化简已知等式可得c的值，利用余弦定理可求cosC，根据同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．
解：∵a＝2，b，sinCsinB，
∴由正弦定理可得cb＝3，
∴cosC，可得sinC，
∴S△ABCabsinC．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
15．某地为了解居民的每日总用电量y（万度）与气温x（°C）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：
气温X（°C）
19
13
9
﹣1
每日总用电量y（（万度）
24
34
38
64
经分析，可用线性回归方程拟合y与X的关系．据此预测气温为14°C时，该地当日总用电量y （万度）为　32　．
【分析】求出样本中心，代入回归直线方程，求出a，然后求解该地当日总用电量．
解：由题意可知：10，40，
所以40＝﹣2×10+a，解得a＝60．
线性回归方程，
预测气温为14°C时，
可得y＝﹣28+60＝32．
故答案为：32．
【点评】本题考查回归直线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．
16．设F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左焦点，过F作圆x2+y2＝a2的切线，切点为M，切线与渐近线yx相交于点N，若|MN|＝2|MF|，则C的离心率为　　．
【分析】先在Rt△OMF中求出|MF|的长和tan∠MFO，从而得到直线MN的方程，将其与渐近线方程yx联立，解得点N的坐标，再在Rt△OMF中，由三角形的等面积法求得M的纵坐标，由于|MN|＝2|MF|，所以，最后结合b2＝c2﹣a2和即可求得离心率．
解：根据题意，作出如图所示的图形，F（﹣c，0），|OM|＝a，

在Rt△OMF中，|MF|，tan∠MFO═，
∴直线MN的方程为y（x+c），
联立，解得，∴，
由三角形的等面积法可知，．
∵|MN|＝2|MF|，∴，
又b2＝c2﹣a2，∴，离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线中的渐近线、离心率等几何性质，还涉及直线与圆的位置关系、两条直线的交点坐标等知识点，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝15，且a1，a3，a11成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an•（）n，试问数列{bn}是否存在最大项？若存在，求出最大项序号n的值；若不存在，请说明理由．
【分析】本题第（1）题先通过等差数列的求和公式和等差中项的性质可计算出a2＝5，再设等差数列{an}的公差为d（d≠0），将a1，a3，a11均表示成a2与d的表达式，根据等比中项的性质列出算式，即可计算出公差d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式；
第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后假设数列{bn}存在最大项，则有，代入通项公式列出不等式组，化简整理并计算出n的取值范围，再判断出n的值是否存在即可判断数列{bn}是否存在最大项．
解：（1）由题意，可知
S33a2＝15，解得a2＝5，
设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则
a1＝5﹣d，a3＝5+d，a11＝5+（11﹣2）•d＝5+9d，
∵a1，a3，a11成等比数列，
∴a32＝a1•a11，即（5+d）2＝（5﹣d）（5+9d），
整理，得d2﹣3d＝0，
解得d＝0（舍去），或d＝3，
∴an＝5+（n﹣2）•3＝3n﹣1，n∈N*．
（2）由（1）知，bn＝an•（）n＝（3n﹣1）•（）n，
依题意，假设数列{bn}存在最大项，则有，
即，
化简，得
，
解得n，
∵n∈N*，∴n＝6，
故数列{bn}存在最大项，且取得最大项时n的值为6．
【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的相关计算，以及通过计算不等式组的方法找到数列的最大项．考查了转化与化归思想，方程思想，以及不等式的运算能力，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．
18．为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年的科技素质．某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩，其频率分布直方图如图：

（1）该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入如表的列联表，并判断能否有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”？

获奖
不获奖
合计
男生



女生



合计


100
（2）估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
附：．
P（K2≥k）
0.40
0.25
0.15
0.10
k
0.708
1.323
2.072
2.706
【分析】（1）先利用分层抽样的方法得到抽取的100名学生中男生、女生的人数，再结合频率分布直方图求出
男生中获奖的人数和不获奖的人数，女生中获奖的人数和不获奖的人数，完成列联表即可，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；
（2）用每组的区间中点值乘以该组的频率依次相加，分别求出男生的平均成绩和女生的平均成绩，再求平均值即可求出结果．
解：（1）由题意可知，抽取的100名学生中男生有60人，女生有40人，
所以男生中获奖的人数为：2×0.0125×20×60＝30人，不获奖的人数为60﹣30＝30人，
女生中获奖的人数为：（0.0125+0.0075）×20×40＝16人，不获奖的人数为40﹣16＝24人，
所以2×2列联表如下：

获奖
不获奖
合计
男生
30
30
60
女生
16
24
40
合计
46
54
100
所以K 的观测值：K20.966＜2.706；
所以没有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”；
（2）男生得分的平均值的估计值为：10×0.0025×20+30×0.0075×20+50×0.0150×20+70×0.0125×20+90×0.0125×20＝60（分），
女生得分的平均值的估计值为：10×0.0050×20+30×0.0100×20+50×0.0150×20+70×0.0125×20+90×0.0075×20＝53（分），
所以这100名学生的参赛成绩的平均数的估计值为：56.5（分）．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题．
19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧面BCC1B1为正方形，底面ABC为正三角形，BC1∩B1C＝O，A1B1＝A1C．
（1）求证：B1C⊥平面A1BC1；
（2）若BC＝2，求点C到平面A1B1C1的距离．

【分析】（1）由侧面BCC1B1为正方形，得B1C⊥BC1，再由已知可得B1C⊥A1O，由直线与平面垂直的判定可得B1C⊥平面A1BC1；
（2）由（1）知，A1O⊥B1C，再由已知可得A1C1＝A1C，再证明三角形全等可得∠A1OC1＝∠A1OC＝90°，得到A1O⊥平面BB1C1C，求出多面体A1﹣BB1C1C的体积，得到棱柱的体积，设点C到平面A1B1C1的距离为h，由棱柱体积列式求得点C到平面A1B1C1的距离．
【解答】（1）证明：如图，∵侧面BCC1B1为正方形，∴B1C⊥BC1，
又A1B1＝A1C，O为B1C的中点，∴B1C⊥A1O，
又BC1∩A1O＝O，
∴B1C⊥平面A1BC1；
（2）解：由（1）知，A1O⊥B1C，
由侧面BCC1B1为正方形，底面ABC为正三角形，A1B1＝A1C，
得A1C1＝A1C，
在△A1OC与△A1OC1 中，由A1C1＝A1C，OC＝OC1，A1O＝A1O，
得△A1OC≌△A1OC1，可得∠A1OC1＝∠A1OC＝90°，
∴A1O⊥平面BB1C1C，得A1O⊥BC1．
由BC＝2，得，．
∴多面体A1﹣BB1C1C的体积V，
由等积法可得．
设点C到平面A1B1C1的距离为h，
由，解得h．
∴点C到平面A1B1C1的距离为．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了推理能力与计算能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．
20．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C过点（0，﹣1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y＝x+m（m＞0）与椭圆C交于A、B两点，点O为坐标原点，在椭圆C上是否存在一点P，满足？若存在，求△ABP的面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点代入椭圆可得b，利用离心率以及a2＝b2+c2即可求出a，则有椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆，利用根与系数关系表示出P的坐标，代入椭圆即可求出m的值．
解：（1）由题得e，所以c2a2，将（0，﹣1）代入得到b2＝1，结合a2＝b2+c2，
解得a2＝2，c2＝1，
故椭圆C的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，
整理得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，则x1+x2，x1x2，
所以y1+y2＝x1+x2+2m，
若有，即有（）＝﹣（，）＝（，），
又因为P在椭圆上，
故（）2+2（）2＝2，解得m＝±，
所以直线l：y＝x±，经计算可得点P到直线l的距离d，
则S△ABP•|AB|••．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程的求法，注意讨论直线的斜率，以及联立直线方程和椭圆方程运用韦达定理和判别式大于0，同时考查向量加法的坐标运算，属于中档题．
21．已知函数f（x）＝cosxx2﹣a．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（2）当a≥1时，求证：对任意的x∈[0，2]，f（x）≤0．
【分析】（1）根据导数和的几何意义，即可求出切线方程；
（2）根据导数和函数单调性及最值，即可求出．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝cosxx2﹣1，
则f′（x）＝﹣sinxx，
∴切线的斜率k＝f′（π），
∵f（π）＝﹣2，
∴曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为y+2（x﹣π），即2πx﹣4y﹣8﹣π2＝0．
证明：（2）当a≥1时，f′（x）＝﹣sinxx，
当x∈[0，2]时，sinx≥0，则﹣sinx≤0，0，
∴f′（x）＝﹣sinxx≤0，在[0，2]上恒成立，
∴f（x）在[0，2]上单调递增，
∴f（x）≤f（2）＝cos2+a﹣a＝cos2＜0，
故对任意的x∈[0，2]，f（x）≤0．
【点评】本题考查了导数和几何意义和导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，A（2，），B（1，），C（1，），D（2，），弧所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线是弧，曲线M2是弧．
（1）分别写出M1，M2的极坐标方程：
（2）点E，F位于曲线M2上，且，求△EOF面积的取值范围．

【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用三角形的面积公式和极径的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．曲线是弧，
解：（1）由题意可知：M1的极坐标方程为．
记圆弧AD所在圆的圆心（2，0）易得极点O在圆弧AD上．
设P（ρ，θ）为M2上任意一点，则在△OO1P中，可得ρ＝4cosθ（）．
所以：M1，M2的极坐标方程为和ρ＝4cosθ（）．
（2）设点E（ρ1，α），点F（），（），
所以ρ1＝4cosα，．
所以．
由于，所以．
故．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
一、选择题
23．已知f（x）＝|x2+2﹣t|+|t﹣3|（x＞0）．
（1）若f（1）＝2，求实数t的取值范围；
（2）求证：f（x）≥2．
【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得（3﹣t）（t﹣1）≥0，解出即可；
（2）利用绝对值不等式及基本不等式即可得证．
解：（1）∵f（1）＝|3﹣t|+|t﹣1|≥|3﹣t+t﹣1|＝2，取等号的条件为（3﹣t）（t﹣1）≥0，
解得1≤t≤3，即实数t的取值范围为[1，3]；
（2）证明：易知，
∵x＞0，
∴，
∴，
∴f（x）≥2．
【点评】本题以绝对值不等式，均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求解及证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，难度不大．