专题05 三角函数图像的变换【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（北师大版2019必修第二册）

专题05 三角函数图像的变换【专项训练】-2020-2021学年高一数学

下学期期中专项复习（北师大2019版）

一、单选题

1．（2021·浙江高三其他模拟）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由已知得函数的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.

【详解】

由题意知函数的最小正周期，则，得，.

将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，

要使该图象关于原点对称，则，，所以，，

又，所以当时，取得最大值，最大值为．

故选：A

【点睛】

思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.

2．（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（理））将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

直接利用函数的图象的平移变换和正弦型函数的对称性求参数，再结合范围利用余弦函数的图象特征求出函数的最小值即可．

【详解】

解：函数的图象向右平移个单位长度后，

得到的图象，由于函数的图象关于点对称，

所以，即，即.

由于，所以时，，则．

当，所以，

当或时，即或时，函数的最小值为．

故选：C．

3．（2021·河南平顶山市·高三二模（文））将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象与轴最近的对称轴方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据正弦函数图象的平移性质，结合正弦型函数的对称性进行求解即可.

【详解】

设，

该函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象的解析式为：

，

，它的对称轴为，

显然当时，对称轴与轴最近，

故选：A

4．（2021·浙江省杭州第二中学高一期末）将函数的图象的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，再由的图象（    ）单位可得的图像．

A．向左平移个 B．向左平移个 C．向右平移个 D．向右平移个

【答案】A

【分析】

由题意利用两角和与差的公式化简，再利用图像变换规律得到，再化简，观察到该函数的变换，即可得解.

【详解】

化简，

函数的图像横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到

又

的图像向左平移个单位长度得到

故选：A

【点睛】

方法点睛：本题主要考查函数的图像变换规律，做题时要注意三点：

（1）弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；

（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，先利用诱导公式化为同名函数；

（3）由的图像得到的图像时，需平移的单位数应为，而不是．

5．（2021·辽宁高三其他模拟（理））已知函数的图象相邻的两个对称轴之间的距离为．若将函数的图象向右平移个单位长度后得到奇函数的图象，则的值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离可求出函数的周期，即可求出 通过函数的图象的平移，求出新函数，通过函数的奇偶性，求出即可.

【详解】

因为函数的图象相邻的两个对称轴之间的距离为

所以, 而解得

又因为函数 的图象向右平移个单位长度后得到奇函数的图象

所以

由函数为奇函数， 可得,

而 ，所以

故选：A.

6．（2021·山东日照市·高三一模）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．是奇函数 B．的周期为π

C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称

【答案】C

【分析】

先求出的解析式，再根据余弦函数的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】

的图象向左平移个单位，得到函数，

，，所以是偶函数，故选项A不正确；

的周期为，故选项B不正确；

的图象对称中心为，所以关于点对称，故选项C正确；

对称轴为，直线不是的图象的对称轴，故选项D不正确；

故选：C.

7．（2021·湖南高三月考（文））下列函数中，同时满足以下两个条件①“，”；②“将图象向左平移个单位长度后得到的图象对应函数为”的一个函数是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先判断出函数的对称性，然后逐项检验即可.

【详解】

因为，

所以关于点成中心对称

对于A，时，，排除；

对于B，时，，排除；

对于C，时，，待进一步检验；

对于D，时，，待进一步检验.

又将图象向左平移个单位长度后得到的图象对应函数为

对于C，平移后，，排除；

对于D，平移后，，正确.

故选：D.

8．（2021·河南高三其他模拟（文））已知曲线，曲线，则下列结论正确的是（    ）

A．将曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线

B．将曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线

C．将曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线

D．将曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线

【答案】D

【分析】

利用三角函数的图象变换求出每一个选项的函数的解析式即得解.

【详解】

A.得到曲线：，所以该选项错误；

B.得到曲线：，所以该选项错误；

C.得到曲线：，所以该选项错误；

D.得到曲线：，所以该选项正确.

故选：D

9．（2021·河南新乡市·高三一模（理））已知函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的单调递减区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由题意利用三角函数图象的变换规律求出平移之后的解析式，令其等于，利用诱导公式以及三角函数的周期性求出的值，即可得的解析式，再利用余弦函数的单调减区间即可求解.

【详解】

函数的图象向右平移个单位长度后

可得，

因为所得的图象与的图象重合，

所以，

可得：，所以，

因为，所以，，所以，

令，

解得，

即的单调递减区间为.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是平移之后的图象与图象重合，需要将两个解析式化为同名的，求出再利用整体代入的方法求单调区间.

10．（2021·广西崇左市·高三二模（理））将函数的图像向右平移个单位长度后与原函数图像重合，则实数的最小值是（    ）

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】C

【分析】

由题意可知是的周期的倍数，即，从而可求得答案

【详解】

解：因为函数的图像向右平移个单位长度后与原函数图像重合，

所以是的周期的倍数，

设，

所以，

因为，所以当时，最小，

故选：C

二、多选题

11．（2021·聊城市·山东聊城一中高三一模）已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（    ）

A．的图象关于对称

B．在上单调递减

C．≥的解为

D．方程在上有2个解

【答案】AC

【分析】

根据三角函数的平移变换原则求出，再根据三角函数的性质求出，由三角函数的性质逐一判断 即可.

【详解】

将的图象上所有点向右平移个单位长度，

可得，

横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，

可得，

由为偶函数，且最小正周期为，

则，且，

解得，，

所以，

对于A，当时，，即，

故的图象关于对称，故A正确；

对于B，由，则，

正弦函数的单调递减区间为，

由不是的子集，故B不正确；

对于C，≥，即，即，

即，

解得，故C正确；

对于D，，即，

作出函数图象与的图象，如下：

由图象可知，两函数的图象在上交点个数为个，故D不正确.

故选：AC

12．（2021·江苏南通市·高三月考）已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象

C．在上单调递增

D．点是图象的一个对称中心

【答案】ACD

【分析】

A选项用三角函数最小正周期公式确定正确性，B选项根据图象变换确定正确性，C选项通过求单调区间来确定正确性，D选项利用代入法确定正确性.

【详解】

的最小正周期为，故A选项正确.

的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，故B选项错误.

由，，所以在上单调递增，C选项正确.

，所以点是图象的一个对称中心，故D选项正确.

故选：ACD

13．（2021·江苏苏州市·苏州中学高一月考）要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】AD

【分析】

假设平移个单位长度可得到，则，然后根据三角函数的图象性质确定出的取值及平移的方向即可.

【详解】

假设将函数的图象平移个单位可得到的图象，则平移后的解析式为，根据题意只需满足即可，故时，，即向左平移个单位长度，故A符合；

当时，，即向右平移个单位长度，故D符合.

故选：AD.

【点睛】

本题考查三角函数图象的平移变换，注意将函数图象向左或向右平移个单位长度时，解析式变为，而不是.

14．（2020·全国高三专题练习）已知函数的图象可由函数的图象先向左平移个单位长度，然后将每个点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到，则函数图象的对称中心不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】

根据三角函数的图像变换得到，然后解出方程可得答案.

【详解】

将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)

得到的图象

再将所得图象向右平移个单位长度，得到

令()，则()

故选：ACD

三、填空题

15．（2021·广西玉林市·高三其他模拟（理））函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象的一条对称轴是直线，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】

由图象平移可得，利用整体对应的方式可得，解得后，结合可得结果.

【详解】

，又是的对称轴，

，解得：，

，当时，.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：本题考查根据三角函数的性质求解解析式的问题，解决此类问题的常用方法是结合五点作图法，利用整体对应的方式来构造方程.

16．（2021·湖南张家界市·高一期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】

先求出，由可求出，利用单调性可得，结合即可求解.

【详解】

将函数的图象向右平移个单位长度得到

函数,

因为，所以，

因为函数在区间上是单调递增函数，

所以，解得：，因为，所以，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是由的范围求出的范围，将看成一个整体让其满足正弦函数的单调递增区间，即可得其满足的条件.

17．（2021·尤溪县第五中学高一期末）将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则=________________.

【答案】

【分析】

利用三角函数的平移、伸缩变换即可求解.

【详解】

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）

后可得 的图象，

再将的图象向右平移个单位长度后

得到函数的图象，

故答案为：

18．（2021·浙江高一期末）将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，再向右平移单位，所得到的函数解析式是_________.

【答案】

【分析】

利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案.

【详解】

函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，

得到，

再向右平移个单位，得到，

故最终所得到的函数解析式为：.

故答案为：.

19．（2020·全国高一）已知函数的图象的一个对称中心为其中则以下结论正确的是_________.

（1）函数的最小正周期为

（2）将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称

（3）函数在区间上单调递增

（4）函数在区间上有66个零点

【答案】（1）（3）

【分析】

先根据的对称中心求得，然后求：的最小正周期、单调区间、零点，由此确定（1）（3）（4）的正确性.求得函数的图象向左平移所得函数的解析式，由此判断（2）的正确性.

【详解】

由函数的图象的一个对称中心为,得,

因为，所以,则，

所以周期，（1）正确；

由,取，得,即是数的一个单调递增区间，又是的子集，所以函数在区间上单调递增，（3）正确；

由,得.解得由，，得，因为，所以,所以函数在区间上有67个零点，（4）错误.

将函数的图象向左平移，得,显然的图象不关于原点对称，（2）错误；

故答案为：（1）（3）

【点睛】

求三角函数的单调区间可以采用整体代入法.三角函数图象变换，要注意的影响.

20．（2020·北京人大附中高三月考）将函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象.已知在上有且只有5个零点.在下列命题中：

①的图象关于点对称；

②在内恰有5个极值点；

③在区间内单调递减；

④的取值范围是.

所有真命题的序号是______.

【答案】①④

【分析】

根据正弦型函数的图象变换性质求出函数的解析式，结合正弦型函数零点的性质求出的取值范围，并根据正弦型函数的对称性、极值、单调性逐一判断即可.

【详解】

因为函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象，

所以函数的解析式为：，

当时，，

因为函数在上有且只有5个零点，

所以，

因为，

所以当时，，此时解不等式组，得，

当时，，此时不等式组的解集为空集，

故④正确；

①：因为，所以的图象关于点对称，故本命题是真命题；

②：因为，所以，

又因为，所以，而，

即当时，，此时函数有4个极值点，故本命题是假命题；

③：因为，所以，

又因为，所以，而，故本命题是假命题；

故答案为：①④

【点睛】

本题考查了正弦型函数图象变换性质的应用，考查了正弦型函数的对称性、单调性、极值等性质，考查了数学运算能力.